MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domunsn Unicode version

Theorem domunsn 7027
Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunsn  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )

Proof of Theorem domunsn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdom0 7009 . . . . 5  |-  -.  A  ~< 
(/)
2 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  (/) ) )
31, 2mtbiri 294 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B )
43con2i 112 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  =  (/) )
5 neq0 3478 . . 3  |-  ( -.  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  B )
64, 5sylib 188 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  E. z 
z  e.  B )
7 domdifsn 6961 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
9 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
10 en2sn 6956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  { C }  ~~  { z } )
119, 10mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~~  { z } )
12 endom 6904 . . . . . . . 8  |-  ( { C }  ~~  {
z }  ->  { C }  ~<_  { z } )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
14 snprc 3708 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  C  e.  _V  <->  { C }  =  (/) )
1514biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  =  (/) )
16 snex 4232 . . . . . . . . 9  |-  { z }  e.  _V
17160dom 7007 . . . . . . . 8  |-  (/)  ~<_  { z }
1815, 17syl6eqbr 4076 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
1913, 18pm2.61i 156 . . . . . 6  |-  { C }  ~<_  { z }
20 incom 3374 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )
21 disjdif 3539 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )  =  (/)
2220, 21eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
23 undom 6966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  ( B 
\  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  /\  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  ( ( B 
\  { z } )  u.  { z } ) )
2422, 23mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  ( B  \  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  {
z } )  u. 
{ z } ) )
258, 19, 24sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } ) )
26 uncom 3332 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )
27 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2827snssd 3776 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  { z }  C_  B )
29 undif 3547 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  B  <->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3028, 29sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3126, 30syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( B  \  { z } )  u.  { z } )  =  B )
3225, 31breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B )
3332ex 423 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B ) )
3433exlimdv 1626 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  ( E. z  z  e.  B  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B ) )
356, 34mpd 14 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  8290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882
  Copyright terms: Public domain W3C validator