MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domunsn Unicode version

Theorem domunsn 7011
Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunsn  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )

Proof of Theorem domunsn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdom0 6993 . . . . 5  |-  -.  A  ~< 
(/)
2 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  (/) ) )
31, 2mtbiri 294 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B )
43con2i 112 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  =  (/) )
5 neq0 3465 . . 3  |-  ( -.  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  B )
64, 5sylib 188 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  E. z 
z  e.  B )
7 domdifsn 6945 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
9 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
10 en2sn 6940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  { C }  ~~  { z } )
119, 10mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~~  { z } )
12 endom 6888 . . . . . . . 8  |-  ( { C }  ~~  {
z }  ->  { C }  ~<_  { z } )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
14 snprc 3695 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  C  e.  _V  <->  { C }  =  (/) )
1514biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  =  (/) )
16 snex 4216 . . . . . . . . 9  |-  { z }  e.  _V
17160dom 6991 . . . . . . . 8  |-  (/)  ~<_  { z }
1815, 17syl6eqbr 4060 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
1913, 18pm2.61i 156 . . . . . 6  |-  { C }  ~<_  { z }
20 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )
21 disjdif 3526 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )  =  (/)
2220, 21eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
23 undom 6950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  ( B 
\  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  /\  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  ( ( B 
\  { z } )  u.  { z } ) )
2422, 23mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  ( B  \  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  {
z } )  u. 
{ z } ) )
258, 19, 24sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } ) )
26 uncom 3319 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )
27 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2827snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  { z }  C_  B )
29 undif 3534 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  B  <->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3028, 29sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3126, 30syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( B  \  { z } )  u.  { z } )  =  B )
3225, 31breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B )
3332ex 423 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B ) )
3433exlimdv 1664 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  ( E. z  z  e.  B  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B ) )
356, 34mpd 14 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  8274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator