MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domunsn Unicode version

Theorem domunsn 7194
Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunsn  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )

Proof of Theorem domunsn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdom0 7176 . . . . 5  |-  -.  A  ~< 
(/)
2 breq2 4158 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  (/) ) )
31, 2mtbiri 295 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B )
43con2i 114 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  =  (/) )
5 neq0 3582 . . 3  |-  ( -.  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  B )
64, 5sylib 189 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  E. z 
z  e.  B )
7 domdifsn 7128 . . . . 5  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
9 vex 2903 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
10 en2sn 7123 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  { C }  ~~  { z } )
119, 10mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~~  { z } )
12 endom 7071 . . . . . 6  |-  ( { C }  ~~  {
z }  ->  { C }  ~<_  { z } )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
14 snprc 3815 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  e.  _V  <->  { C }  =  (/) )
1514biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  =  (/) )
16 snex 4347 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  _V
17160dom 7174 . . . . . 6  |-  (/)  ~<_  { z }
1815, 17syl6eqbr 4191 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
1913, 18pm2.61i 158 . . . 4  |-  { C }  ~<_  { z }
20 incom 3477 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )
21 disjdif 3644 . . . . . 6  |-  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )  =  (/)
2220, 21eqtri 2408 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
23 undom 7133 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_  ( B 
\  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  /\  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  ( ( B 
\  { z } )  u.  { z } ) )
2422, 23mpan2 653 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( B  \  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  {
z } )  u. 
{ z } ) )
258, 19, 24sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } ) )
26 uncom 3435 . . . 4  |-  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )
27 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2827snssd 3887 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  { z }  C_  B )
29 undif 3652 . . . . 5  |-  ( { z }  C_  B  <->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3028, 29sylib 189 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3126, 30syl5eq 2432 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( B  \  { z } )  u.  { z } )  =  B )
3225, 31breqtrd 4178 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B )
336, 32exlimddv 1645 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758   class class class wbr 4154    ~~ cen 7043    ~<_ cdom 7044    ~< csdm 7045
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  8461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-id 4440  df-suc 4529  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator