MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domunsn Structured version   Unicode version

Theorem domunsn 7249
Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunsn  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )

Proof of Theorem domunsn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdom0 7231 . . . . 5  |-  -.  A  ~< 
(/)
2 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  (/) ) )
31, 2mtbiri 295 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B )
43con2i 114 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  =  (/) )
5 neq0 3630 . . 3  |-  ( -.  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  B )
64, 5sylib 189 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  E. z 
z  e.  B )
7 domdifsn 7183 . . . . 5  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  A  ~<_  ( B  \  { z } ) )
9 vex 2951 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
10 en2sn 7178 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  { C }  ~~  { z } )
119, 10mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~~  { z } )
12 endom 7126 . . . . . 6  |-  ( { C }  ~~  {
z }  ->  { C }  ~<_  { z } )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
14 snprc 3863 . . . . . . 7  |-  ( -.  C  e.  _V  <->  { C }  =  (/) )
1514biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  =  (/) )
16 snex 4397 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  _V
17160dom 7229 . . . . . 6  |-  (/)  ~<_  { z }
1815, 17syl6eqbr 4241 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  { C }  ~<_  { z } )
1913, 18pm2.61i 158 . . . 4  |-  { C }  ~<_  { z }
20 incom 3525 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )
21 disjdif 3692 . . . . . 6  |-  ( { z }  i^i  ( B  \  { z } ) )  =  (/)
2220, 21eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
23 undom 7188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_  ( B 
\  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  /\  ( ( B  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  ( ( B 
\  { z } )  u.  { z } ) )
2422, 23mpan2 653 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( B  \  { z } )  /\  { C }  ~<_  { z } )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  {
z } )  u. 
{ z } ) )
258, 19, 24sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } ) )
26 uncom 3483 . . . 4  |-  ( ( B  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )
27 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2827snssd 3935 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  { z }  C_  B )
29 undif 3700 . . . . 5  |-  ( { z }  C_  B  <->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3028, 29sylib 189 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( { z }  u.  ( B  \  { z } ) )  =  B )
3126, 30syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( B  \  { z } )  u.  { z } )  =  B )
3225, 31breqtrd 4228 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A  u.  { C } )  ~<_  B )
336, 32exlimddv 1648 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A  u.  { C }
)  ~<_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100
This theorem is referenced by:  canthp1lem1  8519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104
  Copyright terms: Public domain W3C validator