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Theorem domunsncan 6978
Description: A singleton cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domunsncan.a  |-  A  e. 
_V
domunsncan.b  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domunsncan  |-  ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y
)  ->  ( ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )

Proof of Theorem domunsncan
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3352 . . . 4  |-  Y  C_  ( { B }  u.  Y )
2 reldom 6885 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
32brrelex2i 4746 . . . . 5  |-  ( ( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )
5 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  ( { B }  u.  Y
)  /\  ( { B }  u.  Y
)  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  Y  e.  _V )
7 brdomi 6889 . . . . 5  |-  ( ( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  E. f 
f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )
)
8 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
98resex 5011 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  e.  _V
10 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y
) )
11 difss 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  C_  ( { A }  u.  X
)
12 f1ores 5503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  /\  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) 
C_  ( { A }  u.  X )
)  ->  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
1310, 11, 12sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
14 f1oen3g 6893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  e. 
_V  /\  ( f  |`  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) : ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) -1-1-onto-> ( f " (
( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~~  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
159, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~~  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) ) )
16 df-f1 5276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  <->  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  /\  Fun  `' f ) )
1716simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  Fun  `' f )
18 imadif 5343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } ) )  =  ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  =  ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) ) )
2019ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  =  ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) ) )
21 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { B }  e.  _V
22 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  Y  e.  _V )
23 unexg 4537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { B }  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  Y )  e.  _V )
2421, 22, 23sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( { B }  u.  Y )  e.  _V )
25 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { B }  u.  Y )  e.  _V  ->  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } )  e.  _V )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  e.  _V )
27 f1f 5453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y ) )
28 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" ( { A }  u.  X )
)  C_  ran  f
29 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  ->  ran  f  C_  ( { B }  u.  Y )
)
3028, 29syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) --> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
) )
3127, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
) )
3231ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( { A }  u.  X ) )  C_  ( { B }  u.  Y ) )
33 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  C_  ( { B }  u.  Y
)  ->  ( (
f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y )  \  ( f " { A } ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  ( f " { A } ) ) )
35 f1fn 5454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  f  Fn  ( { A }  u.  X ) )
3635ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  f  Fn  ( { A }  u.  X
) )
37 domunsncan.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  e. 
_V
3837snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
{ A }
39 elun1 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  { A }  ->  A  e.  ( { A }  u.  X
) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  e.  ( { A }  u.  X )
41 fnsnfv 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  ( { A }  u.  X
)  /\  A  e.  ( { A }  u.  X ) )  ->  { ( f `  A ) }  =  ( f " { A } ) )
4236, 40, 41sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  { ( f `
 A ) }  =  ( f " { A } ) )
4342difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  =  ( ( { B }  u.  Y )  \  (
f " { A } ) ) )
4434, 43sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) )
45 ssdomg 6923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { B }  u.  Y )  \  {
( f `  A
) } )  e. 
_V  ->  ( ( ( f " ( { A }  u.  X
) )  \  (
f " { A } ) )  C_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) ) )
4626, 44, 45sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } ) )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( { A }  u.  X
) --> ( { B }  u.  Y )  /\  A  e.  ( { A }  u.  X
) )  ->  (
f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
4827, 40, 47sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  (
f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
4948ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f `  A )  e.  ( { B }  u.  Y ) )
50 domunsncan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
5150snid 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
{ B }
52 elun1 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( { B }  u.  Y
) )
5351, 52mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  B  e.  ( { B }  u.  Y ) )
54 difsnen 6960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { B }  u.  Y )  e.  _V  /\  ( f `  A
)  e.  ( { B }  u.  Y
)  /\  B  e.  ( { B }  u.  Y ) )  -> 
( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
5524, 49, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { (
f `  A ) } )  ~~  (
( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
56 domentr 6936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  {
( f `  A
) } )  /\  ( ( { B }  u.  Y )  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )  -> 
( ( f "
( { A }  u.  X ) )  \ 
( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
5746, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( f
" ( { A }  u.  X )
)  \  ( f " { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
5820, 57eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } ) )
59 endomtr 6935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) 
~~  ( f "
( ( { A }  u.  X )  \  { A } ) )  /\  ( f
" ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } ) )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )  -> 
( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
6015, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  ~<_  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } ) )
61 uncom 3332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A }  u.  X
)  =  ( X  u.  { A }
)
6261difeq1i 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  ( ( X  u.  { A } )  \  { A } )
63 difun2 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  u.  { A } )  \  { A } )  =  ( X  \  { A } )
6462, 63eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  ( X  \  { A } )
65 difsn 3768 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  X  -> 
( X  \  { A } )  =  X )
6664, 65syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  X  -> 
( ( { A }  u.  X )  \  { A } )  =  X )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { A }  u.  X
)  \  { A } )  =  X )
68 uncom 3332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { B }  u.  Y
)  =  ( Y  u.  { B }
)
6968difeq1i 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  ( ( Y  u.  { B } )  \  { B } )
70 difun2 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  u.  { B } )  \  { B } )  =  ( Y  \  { B } )
7169, 70eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  ( Y  \  { B } )
72 difsn 3768 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( Y  \  { B } )  =  Y )
7371, 72syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( ( { B }  u.  Y )  \  { B } )  =  Y )
7473ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  ( ( { B }  u.  Y
)  \  { B } )  =  Y )
7560, 67, 743brtr3d 4068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( Y  e.  _V  /\  f : ( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y ) ) )  ->  X  ~<_  Y )
7675expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  (
f : ( { A }  u.  X
) -1-1-> ( { B }  u.  Y )  ->  X  ~<_  Y ) )
7776exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E. f  f :
( { A }  u.  X ) -1-1-> ( { B }  u.  Y
)  ->  X  ~<_  Y ) )
787, 77syl5 28 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  Y  e.  _V )  ->  (
( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
)  ->  X  ~<_  Y ) )
7978impancom 427 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  ( Y  e.  _V  ->  X  ~<_  Y ) )
806, 79mpd 14 . 2  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)  ->  X  ~<_  Y )
81 en2sn 6956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  ~~  { B } )
8237, 50, 81mp2an 653 . . . 4  |-  { A }  ~~  { B }
83 endom 6904 . . . 4  |-  ( { A }  ~~  { B }  ->  { A }  ~<_  { B }
)
8482, 83mp1i 11 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  { A }  ~<_  { B }
)
85 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  X  ~<_  Y )
86 incom 3374 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  Y
)  =  ( Y  i^i  { B }
)
87 disjsn 3706 . . . . . 6  |-  ( ( Y  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  Y )
8887biimpri 197 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( Y  i^i  { B } )  =  (/) )
8986, 88syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  Y  -> 
( { B }  i^i  Y )  =  (/) )
9089ad2antlr 707 . . 3  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  ( { B }  i^i  Y
)  =  (/) )
91 undom 6966 . . 3  |-  ( ( ( { A }  ~<_  { B }  /\  X  ~<_  Y )  /\  ( { B }  i^i  Y
)  =  (/) )  -> 
( { A }  u.  X )  ~<_  ( { B }  u.  Y
) )
9284, 85, 90, 91syl21anc 1181 . 2  |-  ( ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y )  /\  X  ~<_  Y )  ->  ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )
)
9380, 92impbida 805 1  |-  ( ( -.  A  e.  X  /\  -.  B  e.  Y
)  ->  ( ( { A }  u.  X
)  ~<_  ( { B }  u.  Y )  <->  X  ~<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877
This theorem is referenced by:  domunfican  7145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881
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