Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Structured version   Unicode version

Theorem dpfrac1 28442
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 28438 and dpcl 28441. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 28437 . 2  |- _ A B  =  ( A  +  ( B  /  10 ) )
2 dpval 28440 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  = _ A B )
3 nn0cn 10223 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
4 recn 9072 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 df-dec 10375 . . . . 5  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
65oveq1i 6083 . . . 4  |-  (; A B  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  +  B )  /  10 )
7 10re 10072 . . . . . . . 8  |-  10  e.  RR
87recni 9094 . . . . . . 7  |-  10  e.  CC
9 mulcl 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( 10  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 10  x.  A
)  e.  CC )
108, 9mpan 652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( 10  x.  A )  e.  CC )
11 10pos 10084 . . . . . . . . 9  |-  0  <  10
127, 11gt0ne0ii 9555 . . . . . . . 8  |-  10  =/=  0
138, 12pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )
14 divdir 9693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1513, 14mp3an3 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1610, 15sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
17 divcan3 9694 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
188, 12, 17mp3an23 1271 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
1918oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2116, 20eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
226, 21syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
233, 4, 22syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
241, 2, 233eqtr4a 2493 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987    / cdiv 9669   10c10 10049   NN0cn0 10213  ;cdc 10374  _cdp2 28435   periodcdp 28436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-dec 10375  df-dp2 28437  df-dp 28438
  Copyright terms: Public domain W3C validator