MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjdisj Unicode version

Theorem dpjdisj 15539
Description: The two subgroups that appear in dpjval 15542 are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjlem.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjdisj.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
dpjdisj  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem dpjdisj
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
41, 2, 3dpjlem 15537 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )
54ineq1d 3485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
61, 2dprdf2 15493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
7 disjdif 3644 . . . . . 6  |-  ( { X }  i^i  (
I  \  { X } ) )  =  (/)
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { X }  i^i  ( I  \  { X } ) )  =  (/) )
9 undif2 3648 . . . . . 6  |-  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) )  =  ( { X }  u.  I )
103snssd 3887 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { X }  C_  I )
11 ssequn1 3461 . . . . . . 7  |-  ( { X }  C_  I  <->  ( { X }  u.  I )  =  I )
1210, 11sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  I )  =  I )
139, 12syl5req 2433 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) ) )
14 eqid 2388 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
15 dpjdisj.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
166, 8, 13, 14, 15dmdprdsplit 15533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  S  <->  ( ( G dom DProd  ( S  |`  { X } )  /\  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
171, 16mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  ( S  |`  { X } )  /\  G dom DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } ) )
1817simp3d 971 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )
195, 18eqtr3d 2422 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758   class class class wbr 4154   dom cdm 4819    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   0gc0g 13651  Cntzccntz 15042   DProd cdprd 15482
This theorem is referenced by:  dpjf  15543  dpjidcl  15544  dpjlid  15547  dpjghm  15549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-gim 14974  df-cntz 15044  df-oppg 15070  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-dprd 15484
  Copyright terms: Public domain W3C validator