MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjeq Structured version   Unicode version

Theorem dpjeq 15648
Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjidcl.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
dpjidcl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjidcl.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dpjeq.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
Assertion
Ref Expression
dpjeq  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .0.    h, i, G, x    P, h, x    ph, i, x    C, h    h, I, i, x    x, W    A, h, x    S, h, i, x
Allowed substitution hints:    ph( h)    A( i)    C( x, i)    P( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dpjeq
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
4 dpjidcl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
5 dpjidcl.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 dpjidcl.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 15647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  e.  W  /\  A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) ) )
87simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) )
98eqeq1d 2450 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) ) ) )
107simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) )  e.  W
)
11 dpjeq.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
125, 6, 1, 2, 10, 11dprdf11 15612 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C ) ) )
13 fvex 5771 . . . 4  |-  ( ( P `  x ) `
 A )  e. 
_V
1413rgenw 2779 . . 3  |-  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  e.  _V
15 mpteqb 5848 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) `  A )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
)  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  C ) )
1614, 15mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
179, 12, 163bitrd 272 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   {crab 2715   _Vcvv 2962    \ cdif 3303   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   dom cdm 4907   "cima 4910   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   X_cixp 7092   Fincfn 7138   0gc0g 13754    gsumg cgsu 13755   DProd cdprd 15585  dProjcdpj 15586
This theorem is referenced by:  dpjrid  15651  dchrptlem3  21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-gim 15077  df-cntz 15147  df-oppg 15173  df-lsm 15301  df-pj1 15302  df-cmn 15445  df-dprd 15587  df-dpj 15588
  Copyright terms: Public domain W3C validator