MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjeq Unicode version

Theorem dpjeq 15393
Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjidcl.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
dpjidcl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjidcl.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dpjeq.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
Assertion
Ref Expression
dpjeq  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .0.    h, i, G, x    P, h, x    ph, i, x    C, h    h, I, i, x    x, W    A, h, x    S, h, i, x
Allowed substitution hints:    ph( h)    A( i)    C( x, i)    P( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dpjeq
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
4 dpjidcl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
5 dpjidcl.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 dpjidcl.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 15392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  e.  W  /\  A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) ) )
87simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) )
98eqeq1d 2366 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) ) ) )
107simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) )  e.  W
)
11 dpjeq.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
125, 6, 1, 2, 10, 11dprdf11 15357 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C ) ) )
13 fvex 5622 . . . 4  |-  ( ( P `  x ) `
 A )  e. 
_V
1413rgenw 2686 . . 3  |-  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  e.  _V
15 mpteqb 5697 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) `  A )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
)  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  C ) )
1614, 15mp1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
179, 12, 163bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225   {csn 3716   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   `'ccnv 4770   dom cdm 4771   "cima 4774   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   X_cixp 6905   Fincfn 6951   0gc0g 13499    gsumg cgsu 13500   DProd cdprd 15330  dProjcdpj 15331
This theorem is referenced by:  dpjrid  15396  dchrptlem3  20617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-gim 14822  df-cntz 14892  df-oppg 14918  df-lsm 15046  df-pj1 15047  df-cmn 15190  df-dprd 15332  df-dpj 15333
  Copyright terms: Public domain W3C validator