MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjeq Unicode version

Theorem dpjeq 15576
Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjidcl.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
dpjidcl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjidcl.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dpjeq.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
Assertion
Ref Expression
dpjeq  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .0.    h, i, G, x    P, h, x    ph, i, x    C, h    h, I, i, x    x, W    A, h, x    S, h, i, x
Allowed substitution hints:    ph( h)    A( i)    C( x, i)    P( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dpjeq
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
4 dpjidcl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
5 dpjidcl.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 dpjidcl.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 15575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  e.  W  /\  A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) ) )
87simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) )
98eqeq1d 2416 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) ) ) )
107simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) )  e.  W
)
11 dpjeq.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
125, 6, 1, 2, 10, 11dprdf11 15540 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C ) ) )
13 fvex 5705 . . . 4  |-  ( ( P `  x ) `
 A )  e. 
_V
1413rgenw 2737 . . 3  |-  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  e.  _V
15 mpteqb 5782 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) `  A )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
)  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  C ) )
1614, 15mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
179, 12, 163bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   {crab 2674   _Vcvv 2920    \ cdif 3281   {csn 3778   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   "cima 4844   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   X_cixp 7026   Fincfn 7072   0gc0g 13682    gsumg cgsu 13683   DProd cdprd 15513  dProjcdpj 15514
This theorem is referenced by:  dpjrid  15579  dchrptlem3  21007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-mulg 14774  df-subg 14900  df-ghm 14963  df-gim 15005  df-cntz 15075  df-oppg 15101  df-lsm 15229  df-pj1 15230  df-cmn 15373  df-dprd 15515  df-dpj 15516
  Copyright terms: Public domain W3C validator