MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjeq Unicode version

Theorem dpjeq 15294
Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjidcl.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
dpjidcl.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjidcl.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dpjeq.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
Assertion
Ref Expression
dpjeq  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .0.    h, i, G, x    P, h, x    ph, i, x    C, h    h, I, i, x    x, W    A, h, x    S, h, i, x
Allowed substitution hints:    ph( h)    A( i)    C( x, i)    P( i)    W( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dpjeq
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
4 dpjidcl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
5 dpjidcl.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 dpjidcl.w . . . . 5  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 15293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  e.  W  /\  A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) ) )
87simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) ) ) )
98eqeq1d 2291 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) ) ) )
107simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `  A
) )  e.  W
)
11 dpjeq.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  C )  e.  W
)
125, 6, 1, 2, 10, 11dprdf11 15258 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) `
 A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C ) ) )
13 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ( P `  x ) `
 A )  e. 
_V
1413rgenw 2610 . . 3  |-  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  e.  _V
15 mpteqb 5614 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) `  A )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) `  A )
)  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  C ) )
1614, 15mp1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) `  A ) )  =  ( x  e.  I  |->  C )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
179, 12, 163bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  C ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   Fincfn 6863   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   DProd cdprd 15231  dProjcdpj 15232
This theorem is referenced by:  dpjrid  15297  dchrptlem3  20505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-dprd 15233  df-dpj 15234
  Copyright terms: Public domain W3C validator