MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjf Unicode version

Theorem dpjf 15543
Description: The  X-th index projection is a function from the direct product to the  X-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjf.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dpjf  |-  ( ph  ->  ( P `  X
) : ( G DProd 
S ) --> ( S `
 X ) )

Proof of Theorem dpjf
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2 eqid 2388 . . 3  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
3 eqid 2388 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 eqid 2388 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
5 dpjfval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
6 dpjfval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
75, 6dprdf2 15493 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
8 dpjf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
97, 8ffvelrnd 5811 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
10 difssd 3419 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  \  { X } )  C_  I
)
115, 6, 10dprdres 15514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
1211simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )
13 dprdsubg 15510 . . . 4  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  -> 
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
155, 6, 8, 3dpjdisj 15539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
165, 6, 8, 4dpjcntz 15538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
17 eqid 2388 . . 3  |-  ( proj
1 `  G )  =  ( proj 1 `  G )
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1f 15257 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) ( proj
1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) : ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) --> ( S `  X ) )
19 dpjfval.p . . . 4  |-  P  =  ( GdProj S )
205, 6, 19, 17, 8dpjval 15542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  =  ( ( S `  X ) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
215, 6, 8, 2dpjlsm 15540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
2220, 21feq12d 5523 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) : ( G DProd  S ) --> ( S `  X )  <-> 
( ( S `  X ) ( proj
1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) : ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) --> ( S `  X ) ) )
2318, 22mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( P `  X
) : ( G DProd 
S ) --> ( S `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3261    C_ wss 3264   {csn 3758   class class class wbr 4154   dom cdm 4819    |` cres 4821   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   +g cplusg 13457   0gc0g 13651  SubGrpcsubg 14866  Cntzccntz 15042   LSSumclsm 15196   proj
1cpj1 15197   DProd cdprd 15482  dProjcdpj 15483
This theorem is referenced by:  dpjidcl  15544  dpjghm2  15550  dchrptlem2  20917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-gim 14974  df-cntz 15044  df-oppg 15070  df-lsm 15198  df-pj1 15199  df-cmn 15342  df-dprd 15484  df-dpj 15485
  Copyright terms: Public domain W3C validator