MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjghm Unicode version

Theorem dpjghm 15347
Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
dpjghm  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  e.  ( ( Gs  ( G DProd  S ) )  GrpHom  G ) )

Proof of Theorem dpjghm
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . 3  |-  P  =  ( GdProj S )
4 eqid 2316 . . 3  |-  ( proj
1 `  G )  =  ( proj 1 `  G )
5 dpjlid.3 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
61, 2, 3, 4, 5dpjval 15340 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  =  ( ( S `  X ) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
7 eqid 2316 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8 eqid 2316 . . . 4  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
9 eqid 2316 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
10 eqid 2316 . . . 4  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
111, 2dprdf2 15291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
12 ffvelrn 5701 . . . . 5  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  X  e.  I )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
1311, 5, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
14 difss 3337 . . . . . . . 8  |-  ( I 
\  { X }
)  C_  I
1514a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  \  { X } )  C_  I
)
161, 2, 15dprdres 15312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
1716simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )
18 dprdsubg 15308 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  -> 
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
201, 2, 5, 9dpjdisj 15337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
211, 2, 5, 10dpjcntz 15336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
227, 8, 9, 10, 13, 19, 20, 21, 4pj1ghm 15061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) ( proj
1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  e.  ( ( Gs  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )  GrpHom  G ) )
231, 2, 5, 8dpjlsm 15338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
2423oveq2d 5916 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Gs  ( G DProd  S
) )  =  ( Gs  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) ) )
2524oveq1d 5915 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Gs  ( G DProd 
S ) )  GrpHom  G )  =  ( ( Gs  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )  GrpHom  G ) )
2622, 25eleqtrrd 2393 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) ( proj
1 `  G )
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) )  e.  ( ( Gs  ( G DProd  S ) )  GrpHom  G ) )
276, 26eqeltrd 2390 1  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  e.  ( ( Gs  ( G DProd  S ) )  GrpHom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    \ cdif 3183    C_ wss 3186   {csn 3674   class class class wbr 4060   dom cdm 4726    |` cres 4728   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   ↾s cress 13196   +g cplusg 13255   0gc0g 13449  SubGrpcsubg 14664    GrpHom cghm 14729  Cntzccntz 14840   LSSumclsm 14994   proj
1cpj1 14995   DProd cdprd 15280  dProjcdpj 15281
This theorem is referenced by:  dpjghm2  15348  dchrptlem2  20557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-gim 14772  df-cntz 14842  df-oppg 14868  df-lsm 14996  df-pj1 14997  df-cmn 15140  df-dprd 15282  df-dpj 15283
  Copyright terms: Public domain W3C validator