MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlid Structured version   Unicode version

Theorem dpjlid 15612
Description: The  X-th index projection acts as the identity on elements of the  X-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
Assertion
Ref Expression
dpjlid  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) `  A
)  =  A )

Proof of Theorem dpjlid
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . . 4  |-  P  =  ( GdProj S )
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( proj
1 `  G )  =  ( proj 1 `  G )
5 dpjlid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
61, 2, 3, 4, 5dpjval 15607 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  =  ( ( S `  X ) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
76fveq1d 5723 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) `  A
)  =  ( ( ( S `  X
) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) `  A ) )
8 dpjlid.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10 eqid 2436 . . . 4  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
11 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
12 eqid 2436 . . . 4  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
131, 2dprdf2 15558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1413, 5ffvelrnd 5864 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
15 difssd 3468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  \  { X } )  C_  I
)
161, 2, 15dprdres 15579 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
1716simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )
18 dprdsubg 15575 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  -> 
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
201, 2, 5, 11dpjdisj 15604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
211, 2, 5, 12dpjcntz 15603 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
229, 10, 11, 12, 14, 19, 20, 21, 4pj1lid 15326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( S `  X ) )  ->  ( (
( S `  X
) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) `  A )  =  A )
238, 22mpdan 650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) (
proj 1 `  G ) ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) `  A )  =  A )
247, 23eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3310    C_ wss 3313   {csn 3807   class class class wbr 4205   dom cdm 4871    |` cres 4873   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   +g cplusg 13522   0gc0g 13716  SubGrpcsubg 14931  Cntzccntz 15107   LSSumclsm 15261   proj
1cpj1 15262   DProd cdprd 15547  dProjcdpj 15548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-gim 15039  df-cntz 15109  df-oppg 15135  df-lsm 15263  df-pj1 15264  df-cmn 15407  df-dprd 15549  df-dpj 15550
  Copyright terms: Public domain W3C validator