MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlid Unicode version

Theorem dpjlid 15539
Description: The  X-th index projection acts as the identity on elements of the  X-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
Assertion
Ref Expression
dpjlid  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) `  A
)  =  A )

Proof of Theorem dpjlid
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dpjfval.p . . . 4  |-  P  =  ( GdProj S )
4 eqid 2380 . . . 4  |-  ( proj
1 `  G )  =  ( proj 1 `  G )
5 dpjlid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
61, 2, 3, 4, 5dpjval 15534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  X
)  =  ( ( S `  X ) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
76fveq1d 5663 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) `  A
)  =  ( ( ( S `  X
) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) `  A ) )
8 dpjlid.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
9 eqid 2380 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10 eqid 2380 . . . 4  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
11 eqid 2380 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
12 eqid 2380 . . . 4  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
131, 2dprdf2 15485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1413, 5ffvelrnd 5803 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G ) )
15 difssd 3411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  \  { X } )  C_  I
)
161, 2, 15dprdres 15506 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  /\  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
1716simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )
18 dprdsubg 15502 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) )  -> 
( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
201, 2, 5, 11dpjdisj 15531 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
211, 2, 5, 12dpjcntz 15530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) )
229, 10, 11, 12, 14, 19, 20, 21, 4pj1lid 15253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( S `  X ) )  ->  ( (
( S `  X
) ( proj 1 `  G ) ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) ) `  A )  =  A )
238, 22mpdan 650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) (
proj 1 `  G ) ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) `  A )  =  A )
247, 23eqtrd 2412 1  |-  ( ph  ->  ( ( P `  X ) `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3253    C_ wss 3256   {csn 3750   class class class wbr 4146   dom cdm 4811    |` cres 4813   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   +g cplusg 13449   0gc0g 13643  SubGrpcsubg 14858  Cntzccntz 15034   LSSumclsm 15188   proj
1cpj1 15189   DProd cdprd 15474  dProjcdpj 15475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-gim 14966  df-cntz 15036  df-oppg 15062  df-lsm 15190  df-pj1 15191  df-cmn 15334  df-dprd 15476  df-dpj 15477
  Copyright terms: Public domain W3C validator