MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlsm Structured version   Unicode version

Theorem dpjlsm 15602
Description: The two subgroups that appear in dpjval 15604 add to the full direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjlem.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlsm.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
dpjlsm  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X )  .(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem dpjlsm
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dpjfval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
31, 2dprdf2 15555 . . 3  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
4 disjdif 3692 . . . 4  |-  ( { X }  i^i  (
I  \  { X } ) )  =  (/)
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { X }  i^i  ( I  \  { X } ) )  =  (/) )
6 undif2 3696 . . . 4  |-  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) )  =  ( { X }  u.  I )
7 dpjlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
87snssd 3935 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { X }  C_  I )
9 ssequn1 3509 . . . . 5  |-  ( { X }  C_  I  <->  ( { X }  u.  I )  =  I )
108, 9sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  I )  =  I )
116, 10syl5req 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  I  =  ( { X }  u.  (
I  \  { X } ) ) )
12 dpjlsm.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
133, 5, 11, 12, 1dprdsplit 15596 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( G DProd 
( S  |`  { X } ) )  .(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
141, 2, 7dpjlem 15599 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  { X } ) )  =  ( S `
 X ) )
1514oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  { X }
) )  .(+)  ( G DProd 
( S  |`  (
I  \  { X } ) ) ) )  =  ( ( S `  X ) 
.(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
1613, 15eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( ( S `
 X )  .(+)  ( G DProd  ( S  |`  ( I  \  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204   dom cdm 4870    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   LSSumclsm 15258   DProd cdprd 15544
This theorem is referenced by:  dpjf  15605  dpjidcl  15606  dpjghm  15611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-gim 15036  df-cntz 15106  df-oppg 15132  df-lsm 15260  df-cmn 15404  df-dprd 15546
  Copyright terms: Public domain W3C validator