MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjrid Unicode version

Theorem dpjrid 15313
Description: The  Y-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dpjrid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjrid.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
dpjrid.6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
Assertion
Ref Expression
dpjrid  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )

Proof of Theorem dpjrid
Dummy variables  h  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjrid.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
2 dpjrid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
4 dpjfval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
5 dpjfval.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
6 dpjlid.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
7 dpjlid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dprdfid 15268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A ) )
109simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A )
1110eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) ) )
12 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
134, 5, 6dprdub 15276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
1413, 7sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
159simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )
164, 5, 12, 14, 2, 3, 15dpjeq 15310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
1711, 16mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
18 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( P `  x )  =  ( P `  Y ) )
1918fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( P `  x
) `  A )  =  ( ( P `
 Y ) `  A ) )
20 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  =  X  <->  Y  =  X ) )
2120ifbid 3596 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2219, 21eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  <->  ( ( P `  Y
) `  A )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
2322rspcv 2893 . . 3  |-  ( Y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
) )
241, 17, 23sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
)
25 dpjrid.6 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
26 ifnefalse 3586 . . 3  |-  ( Y  =/=  X  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2725, 26syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2824, 27eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Fincfn 6879   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   DProd cdprd 15247  dProjcdpj 15248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-dprd 15249  df-dpj 15250
  Copyright terms: Public domain W3C validator