MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjrid Structured version   Unicode version

Theorem dpjrid 15622
Description: The  Y-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dpjfval.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dpjfval.p  |-  P  =  ( GdProj S )
dpjlid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dpjlid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dpjrid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dpjrid.5  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
dpjrid.6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
Assertion
Ref Expression
dpjrid  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )

Proof of Theorem dpjrid
Dummy variables  h  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjrid.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
2 dpjrid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
4 dpjfval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
5 dpjfval.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
6 dpjlid.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
7 dpjlid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dprdfid 15577 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A ) )
109simprd 451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  =  A )
1110eqcomd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) ) )
12 dpjfval.p . . . . 5  |-  P  =  ( GdProj S )
134, 5, 6dprdub 15585 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  C_  ( G DProd  S ) )
1413, 7sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( G DProd 
S ) )
159simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )
164, 5, 12, 14, 2, 3, 15dpjeq 15619 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) `  A )  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
1711, 16mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )
)
18 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( P `  x )  =  ( P `  Y ) )
1918fveq1d 5732 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( P `  x
) `  A )  =  ( ( P `
 Y ) `  A ) )
20 eqeq1 2444 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  =  X  <->  Y  =  X ) )
2120ifbid 3759 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2219, 21eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  <->  ( ( P `  Y
) `  A )  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  ) ) )
2322rspcv 3050 . . 3  |-  ( Y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) `  A
)  =  if ( x  =  X ,  A ,  .0.  )  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
) )
241, 17, 23sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )
)
25 dpjrid.6 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  X )
26 ifnefalse 3749 . . 3  |-  ( Y  =/=  X  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2725, 26syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  if ( Y  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2824, 27eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( P `  Y ) `  A
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   X_cixp 7065   Fincfn 7111   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   DProd cdprd 15556  dProjcdpj 15557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-pj1 15273  df-cmn 15416  df-dprd 15558  df-dpj 15559
  Copyright terms: Public domain W3C validator