MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd0 Unicode version

Theorem dprd0 15518
Description: The empty family is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprd0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
dprd0  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem dprd0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4282 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 dprd0.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
32dprdz 15517 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( G dom DProd  ( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } )  /\  ( G DProd  (
x  e.  (/)  |->  {  .0.  } ) )  =  {  .0.  } ) )
41, 3mpan2 653 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  ( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } )  /\  ( G DProd  (
x  e.  (/)  |->  {  .0.  } ) )  =  {  .0.  } ) )
5 mpt0 5514 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } )  =  (/)
65breq2i 4163 . . 3  |-  ( G dom DProd  ( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } )  <-> 
G dom DProd  (/) )
75oveq2i 6033 . . . 4  |-  ( G DProd 
( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } ) )  =  ( G DProd  (/) )
87eqeq1i 2396 . . 3  |-  ( ( G DProd  ( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } ) )  =  {  .0.  }  <-> 
( G DProd  (/) )  =  {  .0.  } )
96, 8anbi12i 679 . 2  |-  ( ( G dom DProd  ( x  e.  (/)  |->  {  .0.  } )  /\  ( G DProd  (
x  e.  (/)  |->  {  .0.  } ) )  =  {  .0.  } )  <->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  {  .0.  } ) )
104, 9sylib 189 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   (/)c0 3573   {csn 3759   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0gc0g 13652   Grpcgrp 14614   DProd cdprd 15483
This theorem is referenced by:  ablfac1eulem  15559  ablfac1eu  15560  pgpfaclem3  15570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-ghm 14933  df-gim 14975  df-cntz 15045  df-oppg 15071  df-cmn 15343  df-dprd 15485
  Copyright terms: Public domain W3C validator