MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd2d2 Unicode version

Theorem dprd2d2 15279
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d2.1  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
dprd2d2.2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  S ) )
dprd2d2.3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dprd2d2  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  /\  ( G DProd  (
i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, G    i, I, j    j, J    ph, i, j
Allowed substitution hints:    S( i, j)    J( i)

Proof of Theorem dprd2d2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4794 . . . . . 6  |-  Rel  ( { i }  X.  J )
21rgenw 2610 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  Rel  ( { i }  X.  J
)
3 reliun 4806 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  <->  A. i  e.  I  Rel  ( { i }  X.  J
) )
42, 3mpbir 200 . . . 4  |-  Rel  U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
)
54a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) )
6 dprd2d2.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
76ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  J  S  e.  (SubGrp `  G
) )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
98fmpt2x 6190 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  J  S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) : U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) --> (SubGrp `  G )
)
107, 9sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) : U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) --> (SubGrp `  G ) )
11 dmiun 4887 . . . 4  |-  dom  U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
)  =  U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J
)
12 dmxpss 5107 . . . . . . 7  |-  dom  ( { i }  X.  J )  C_  { i }
13 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  i  e.  I )
1413snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  { i }  C_  I )
1512, 14syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I
)
1615ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I )
17 iunss 3943 . . . . 5  |-  ( U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I  <->  A. i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I
)
1816, 17sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I )
1911, 18syl5eqss 3222 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  C_  I )
20 dprd2d2.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  S ) )
21 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
22 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
238ovmpt4g 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2421, 22, 6, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2524anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  J )  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2625mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( j  e.  J  |->  S ) )
2720, 26breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
2827ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
29 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ i G
30 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ i dom DProd
31 nfcsb1v 3113 . . . . . . . 8  |-  F/_ i [_ x  /  i ]_ J
32 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
x
33 nfmpt21 5914 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
34 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
j
3532, 33, 34nfov 5881 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )
3631, 35nfmpt 4108 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
3729, 30, 36nfbr 4067 . . . . . 6  |-  F/ i  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
38 csbeq1a 3089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  J  =  [_ x  /  i ]_ J )
39 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
4038, 39mpteq12dv 4098 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
4140breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  <-> 
G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
4237, 41rspc 2878 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  ->  ( A. i  e.  I  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  ->  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
4328, 42mpan9 455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
44 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )
45 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ j
x
46 nfmpt22 5915 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
47 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ j
y
4845, 46, 47nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ j
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y )
49 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( j  =  y  ->  (
x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
5044, 48, 49cbvmpt 4110 . . . . 5  |-  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( y  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
51 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  j  =  z
5234, 31nfel 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
5351, 52nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
)
54 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5538eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  <->  j  e.  [_ x  /  i ]_ J ) )
5655anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  x  ->  (
( j  =  z  /\  j  e.  J
)  <->  ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J ) ) )
5753, 54, 56ceqsex 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i ( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  ( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J ) )
58 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  i  =  x )
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  x  e.  I )
6058, 59eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  i  e.  I )
6160biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  ( j  e.  J  <->  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) )
6261pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  j  e.  J )  <->  ( (
i  =  x  /\  j  =  z )  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J
) ) ) )
63 anass 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  j  e.  J )  <->  ( i  =  x  /\  (
j  =  z  /\  j  e.  J )
) )
64 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>. 
<-> 
<. i ,  j >.  =  <. x ,  z
>. )
65 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
66 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
6765, 66opth 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  j >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( i  =  x  /\  j  =  z ) )
6864, 67bitr2i 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  <->  <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>. )
6968anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  <->  ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
7062, 63, 693bitr3g 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
7170exbidv 1612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E. i ( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  E. i
( <. x ,  z
>.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
7257, 71syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
)  <->  E. i ( <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) ) )
7372exbidv 1612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E. j ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J )  <->  E. j E. i ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
74 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
75 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  z  ->  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  z  e.  [_ x  / 
i ]_ J ) )
7674, 75ceqsexv 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J )  <->  z  e.  [_ x  /  i ]_ J )
77 excom 1786 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j E. i (
<. x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
7873, 76, 773bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  E. i E. j (
<. x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) ) )
79 elrelimasn 5037 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  -> 
( z  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } )  <-> 
x U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) z ) )
804, 79ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  <->  x U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) z )
81 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( x
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) z  <->  <. x ,  z >.  e.  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) )
82 eliunxp 4823 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
8380, 81, 823bitri 262 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
8478, 83syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } ) ) )
8584eqrdv 2281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  [_ x  /  i ]_ J  =  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } ) )
86 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
8785, 86mpteq12dv 4098 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )  =  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
8850, 87syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
8943, 88breqtrd 4047 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G dom DProd  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
90 dprd2d2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
9126oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) )
9291mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
9390, 92breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) ) )
94 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x
( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
95 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ i DProd
9629, 95, 36nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ i
( G DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
9740oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
9894, 96, 97cbvmpt 4110 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
9988oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
y  e.  ( U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) " {
x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) )
10099mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
10198, 100syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
10293, 101breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
103 eqid 2283 . . 3  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
1045, 10, 19, 89, 102, 103dprd2da 15277 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )
1055, 10, 19, 89, 102, 103dprd2db 15278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd 
( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) ) )
106101, 92eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
107106oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) )
108105, 107eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd 
( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) ) )
109104, 108jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  /\  ( G DProd  (
i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [_csb 3081    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   "cima 4692   Rel wrel 4694   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  mrClscmrc 13485  SubGrpcsubg 14615   DProd cdprd 15231
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  15321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-dprd 15233
  Copyright terms: Public domain W3C validator