MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd2d2 Unicode version

Theorem dprd2d2 15531
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d2.1  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
dprd2d2.2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  S ) )
dprd2d2.3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dprd2d2  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  /\  ( G DProd  (
i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, G    i, I, j    j, J    ph, i, j
Allowed substitution hints:    S( i, j)    J( i)

Proof of Theorem dprd2d2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4925 . . . . . 6  |-  Rel  ( { i }  X.  J )
21rgenw 2718 . . . . 5  |-  A. i  e.  I  Rel  ( { i }  X.  J
)
3 reliun 4937 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  <->  A. i  e.  I  Rel  ( { i }  X.  J
) )
42, 3mpbir 201 . . . 4  |-  Rel  U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
)
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) )
6 dprd2d2.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
76ralrimivva 2743 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  J  S  e.  (SubGrp `  G
) )
8 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
98fmpt2x 6358 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  J  S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) : U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) --> (SubGrp `  G )
)
107, 9sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) : U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) --> (SubGrp `  G ) )
11 dmiun 5020 . . . 4  |-  dom  U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
)  =  U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J
)
12 dmxpss 5242 . . . . . . 7  |-  dom  ( { i }  X.  J )  C_  { i }
13 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  i  e.  I )
1413snssd 3888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  { i }  C_  I )
1512, 14syl5ss 3304 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I
)
1615ralrimiva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I )
17 iunss 4075 . . . . 5  |-  ( U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I  <->  A. i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I
)
1816, 17sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  I  dom  ( { i }  X.  J )  C_  I )
1911, 18syl5eqss 3337 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  C_  I )
20 dprd2d2.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  S ) )
21 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
22 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
238ovmpt4g 6137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2421, 22, 6, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2524anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  J )  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  S )
2625mpteq2dva 4238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( j  e.  J  |->  S ) )
2720, 26breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
2827ralrimiva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
29 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ i G
30 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ i dom DProd
31 nfcsb1v 3228 . . . . . . . 8  |-  F/_ i [_ x  /  i ]_ J
32 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
x
33 nfmpt21 6081 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
34 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
j
3532, 33, 34nfov 6045 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )
3631, 35nfmpt 4240 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
3729, 30, 36nfbr 4199 . . . . . 6  |-  F/ i  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
38 csbeq1a 3204 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  J  =  [_ x  /  i ]_ J )
39 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )
4038, 39mpteq12dv 4230 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
4140breq2d 4167 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  <-> 
G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
4237, 41rspc 2991 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  ->  ( A. i  e.  I  G dom DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  ->  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
4328, 42mpan9 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
44 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )
45 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ j
x
46 nfmpt22 6082 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )
47 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ j
y
4845, 46, 47nfov 6045 . . . . . 6  |-  F/_ j
( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y )
49 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( j  =  y  ->  (
x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j )  =  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
5044, 48, 49cbvmpt 4242 . . . . 5  |-  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( y  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )
51 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  j  =  z
5231nfcri 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
5351, 52nfan 1836 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
)
5438eleq2d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  <->  j  e.  [_ x  /  i ]_ J ) )
5554anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  x  ->  (
( j  =  z  /\  j  e.  J
)  <->  ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J ) ) )
5653, 55equsex 1962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i ( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  ( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J ) )
57 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  i  =  x )
58 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  x  e.  I )
5957, 58eqeltrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  i  e.  I )
6059biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  z )
)  ->  ( j  e.  J  <->  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) )
6160pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  j  e.  J )  <->  ( (
i  =  x  /\  j  =  z )  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J
) ) ) )
62 anass 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  j  e.  J )  <->  ( i  =  x  /\  (
j  =  z  /\  j  e.  J )
) )
63 eqcom 2391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>. 
<-> 
<. i ,  j >.  =  <. x ,  z
>. )
64 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
65 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
6664, 65opth 4378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  j >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( i  =  x  /\  j  =  z ) )
6763, 66bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  <->  <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>. )
6867anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  x  /\  j  =  z )  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  <->  ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
6961, 62, 683bitr3g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
7069exbidv 1633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E. i ( i  =  x  /\  ( j  =  z  /\  j  e.  J ) )  <->  E. i
( <. x ,  z
>.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
7156, 70syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( j  =  z  /\  j  e.  [_ x  /  i ]_ J
)  <->  E. i ( <.
x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) ) )
7271exbidv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E. j ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J )  <->  E. j E. i ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) ) )
73 vex 2904 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
74 eleq1 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  z  ->  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  z  e.  [_ x  / 
i ]_ J ) )
7573, 74ceqsexv 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j ( j  =  z  /\  j  e. 
[_ x  /  i ]_ J )  <->  z  e.  [_ x  /  i ]_ J )
76 excom 1748 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j E. i (
<. x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
7772, 75, 763bitr3g 279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  E. i E. j (
<. x ,  z >.  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) ) ) )
78 elrelimasn 5170 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  -> 
( z  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } )  <-> 
x U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) z ) )
794, 78ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  <->  x U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) z )
80 df-br 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( x
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) z  <->  <. x ,  z >.  e.  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) )
81 eliunxp 4954 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
8279, 80, 813bitri 263 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  <->  E. i E. j ( <. x ,  z >.  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
) )
8377, 82syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  [_ x  /  i ]_ J  <->  z  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } ) ) )
8483eqrdv 2387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  [_ x  /  i ]_ J  =  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } ) )
8584mpteq1d 4233 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) )  =  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
8650, 85syl5eq 2433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) )  =  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
8743, 86breqtrd 4179 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G dom DProd  ( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) )
88 dprd2d2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
8926oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) )
9089mpteq2dva 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
9188, 90breqtrrd 4181 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) ) )
92 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ x
( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
93 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ i DProd
9429, 93, 36nfov 6045 . . . . . 6  |-  F/_ i
( G DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )
9540oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
9692, 94, 95cbvmpt 4242 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )
9786oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G DProd  ( j  e.  [_ x  /  i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) )  =  ( G DProd  (
y  e.  ( U_ i  e.  I  ( { i }  X.  J ) " {
x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) )
9897mpteq2dva 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  [_ x  / 
i ]_ J  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
9996, 98syl5eq 2433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  ( i ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) j ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
10091, 99breqtrd 4179 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )
101 eqid 2389 . . 3  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
1025, 10, 19, 87, 100, 101dprd2da 15529 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )
1035, 10, 19, 87, 100, 101dprd2db 15530 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd 
( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) ) )
10499, 90eqtr3d 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( G DProd  ( y  e.  ( U_ i  e.  I  ( {
i }  X.  J
) " { x } )  |->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) )
105104oveq2d 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( x  e.  I  |->  ( G DProd 
( y  e.  (
U_ i  e.  I 
( { i }  X.  J ) " { x } ) 
|->  ( x ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) y ) ) ) ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) )
106103, 105eqtrd 2421 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd 
( i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  J  |->  S ) ) ) ) )
107102, 106jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S )  /\  ( G DProd  (
i  e.  I ,  j  e.  J  |->  S ) )  =  ( G DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd  (
j  e.  J  |->  S ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   [_csb 3196    C_ wss 3265   {csn 3759   <.cop 3762   U_ciun 4037   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209    X. cxp 4818   dom cdm 4820   "cima 4823   Rel wrel 4825   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024  mrClscmrc 13737  SubGrpcsubg 14867   DProd cdprd 15483
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  15573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-ghm 14933  df-gim 14975  df-cntz 15045  df-oppg 15071  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-dprd 15485
  Copyright terms: Public domain W3C validator