MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd2db Unicode version

Theorem dprd2db 15294
Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprd2d.1  |-  ( ph  ->  Rel  A )
dprd2d.2  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
dprd2d.3  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  I
)
dprd2d.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) )
dprd2d.5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) )
dprd2d.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dprd2db  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  ( A " {
i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, A    i, G, j    i, I    i, K    ph, i, j    S, i, j
Allowed substitution hints:    I( j)    K( j)

Proof of Theorem dprd2db
StepHypRef Expression
1 dprd2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Rel  A )
2 dprd2d.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
3 dprd2d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  I
)
4 dprd2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  G dom DProd  ( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) )
5 dprd2d.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( i  e.  I  |->  ( G DProd 
( j  e.  ( A " { i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) )
6 dprd2d.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6dprd2da 15293 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
86dprdspan 15278 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
97, 8syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
10 relssres 5008 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  A  /\  dom  A 
C_  I )  -> 
( A  |`  I )  =  A )
111, 3, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  |`  I )  =  A )
1211imaeq2d 5028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S " ( A  |`  I ) )  =  ( S " A ) )
13 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( S : A --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  A )
14 fnima 5378 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  A  ->  ( S " A )  =  ran  S )
152, 13, 143syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S " A
)  =  ran  S
)
1612, 15eqtr2d 2329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ( S " ( A  |`  I ) ) )
1716unieqd 3854 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  S  = 
U. ( S "
( A  |`  I ) ) )
1817fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( K `  U. ran  S )  =  ( K `  U. ( S " ( A  |`  I ) ) ) )
19 ssid 3210 . . . 4  |-  I  C_  I
2019a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  I  C_  I )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 20dprd2dlem1 15292 . 2  |-  ( ph  ->  ( K `  U. ( S " ( A  |`  I ) ) )  =  ( G DProd  (
i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  ( A " {
i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) ) )
229, 18, 213eqtrd 2332 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
i  e.  I  |->  ( G DProd  ( j  e.  ( A " {
i } )  |->  ( i S j ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  mrClscmrc 13501  SubGrpcsubg 14631   DProd cdprd 15247
This theorem is referenced by:  dprd2d2  15295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-dprd 15249
  Copyright terms: Public domain W3C validator