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Theorem dprddisj2 15599
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz2.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdcntz2.c  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
dprdcntz2.d  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
dprdcntz2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprddisj2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
dprddisj2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem dprddisj2
Dummy variables  f  h  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . . . . 6  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )
2 dprdcntz2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dprdcntz2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
4 dprdcntz2.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
52, 3, 4dprdres 15588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
65simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) )
71, 6syl5ss 3361 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( G DProd  S ) )
87sseld 3349 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
9 dprddisj2.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
119, 10eldprd 15564 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
123, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
132ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  G dom DProd  S )
143ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  dom  S  =  I )
15 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1710, 13, 14, 15, 16dprdff 15572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f :
I --> ( Base `  G
) )
1817feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  ( f `  x
) ) )
19 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
2019difeq2d 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( I  \  ( C  i^i  D ) )  =  ( I  \  (/) ) )
21 difindi 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  ( C  i^i  D ) )  =  ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )
22 dif0 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  (/) )  =  I
2320, 21, 223eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
)  =  I )
24 eqimss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )  =  I  ->  I  C_  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  I  C_  ( (
I  \  C )  u.  ( I  \  D
) ) )
2625ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  I  C_  (
( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) ) )
2726sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
28 elun 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( I 
\  C )  u.  ( I  \  D
) )  <->  ( x  e.  ( I  \  C
)  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )
2927, 28sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
x  e.  ( I 
\  C )  \/  x  e.  ( I 
\  D ) ) )
304ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  C  C_  I
)
31 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
329, 10, 13, 14, 30, 15, 31dmdprdsplitlem 15597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
33 dprdcntz2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
3433ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  D  C_  I
)
35 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
369, 10, 13, 14, 34, 15, 35dmdprdsplitlem 15597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  D
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3732, 36jaodan 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  ( x  e.  ( I  \  C )  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
3829, 37syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3938mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( f `
 x ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4018, 39eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4140oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) ) )
42 dprdgrp 15565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
43 grpmnd 14819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
442, 42, 433syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
45 reldmdprd 15560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  dom DProd
4645brrelex2i 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
47 dmexg 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
482, 46, 473syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
493, 48eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
509gsumz 14783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  I  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
5144, 49, 50syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
5251ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
5341, 52eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
5453ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  ->  ( (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) )
55 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) ) )
56 elin 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <-> 
( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
5755, 56syl6bb 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
58 elsn 3831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
59 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  =  .0.  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) )
6058, 59syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e. 
{  .0.  }  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
)
6157, 60imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( ( x  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } )  <-> 
( ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) ) )
6254, 61syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  ->  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6362rexlimdva 2832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  ->  (
x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6463adantld 455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) )  -> 
( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6512, 64sylbid 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  -> 
( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6665com23 75 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
678, 66mpdd 39 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
6867ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
695simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
70 dprdsubg 15584 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
719subg0cl 14954 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
7269, 70, 713syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
732, 3, 33dprdres 15588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
7473simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
75 dprdsubg 15584 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
769subg0cl 14954 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
7774, 75, 763syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
78 elin 3532 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  <->  (  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
7972, 77, 78sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
8079snssd 3945 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
8168, 80eqssd 3367 1  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   dom cdm 4880    |` cres 4882   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   X_cixp 7065   Fincfn 7111   Basecbs 13471   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   Mndcmnd 14686   Grpcgrp 14687  SubGrpcsubg 14940   DProd cdprd 15556
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  15607  ablfac1eulem  15632  ablfac1eu  15633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-cmn 15416  df-dprd 15558
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