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Theorem dprddisj2 15290
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz2.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdcntz2.c  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
dprdcntz2.d  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
dprdcntz2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprddisj2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
dprddisj2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem dprddisj2
Dummy variables  f  h  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )
2 dprdcntz2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dprdcntz2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
4 dprdcntz2.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
52, 3, 4dprdres 15279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
65simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) )
71, 6syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( G DProd  S ) )
87sseld 3192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
9 dprddisj2.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
119, 10eldprd 15255 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
123, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
132ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  G dom DProd  S )
143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  dom  S  =  I )
15 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1710, 13, 14, 15, 16dprdff 15263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f :
I --> ( Base `  G
) )
1817feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  ( f `  x
) ) )
19 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
2019difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( I  \  ( C  i^i  D ) )  =  ( I  \  (/) ) )
21 difindi 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  ( C  i^i  D ) )  =  ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )
22 dif0 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  (/) )  =  I
2320, 21, 223eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
)  =  I )
24 eqimss2 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )  =  I  ->  I  C_  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  I  C_  ( (
I  \  C )  u.  ( I  \  D
) ) )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  I  C_  (
( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) ) )
2726sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
28 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( I 
\  C )  u.  ( I  \  D
) )  <->  ( x  e.  ( I  \  C
)  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
x  e.  ( I 
\  C )  \/  x  e.  ( I 
\  D ) ) )
304ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  C  C_  I
)
31 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
329, 10, 13, 14, 30, 15, 31dmdprdsplitlem 15288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
33 dprdcntz2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  D  C_  I
)
35 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
369, 10, 13, 14, 34, 15, 35dmdprdsplitlem 15288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  D
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3732, 36jaodan 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  ( x  e.  ( I  \  C )  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
3829, 37syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3938mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( f `
 x ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4018, 39eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) ) )
42 dprdgrp 15256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
43 grpmnd 14510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
442, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
45 reldmdprd 15251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  dom DProd
4645brrelex2i 4746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
47 dmexg 4955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
482, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
493, 48eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
509gsumz 14474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  I  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
5144, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
5251ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
5341, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )  /\  (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
5453ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  ->  ( (
( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) )
55 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) ) )
56 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <-> 
( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
5755, 56syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
58 elsn 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
59 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  =  .0.  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) )
6058, 59syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e. 
{  .0.  }  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
)
6157, 60imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( ( x  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } )  <-> 
( ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) ) )
6254, 61syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )  ->  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6362rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  ->  (
x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6463adantld 453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) )  -> 
( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6512, 64sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  -> 
( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6665com23 72 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
678, 66mpdd 36 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
6867ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
695simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
70 dprdsubg 15275 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
719subg0cl 14645 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
7269, 70, 713syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
732, 3, 33dprdres 15279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
7473simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
75 dprdsubg 15275 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
769subg0cl 14645 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
7774, 75, 763syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
78 elin 3371 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  <->  (  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
7972, 77, 78sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
8079snssd 3776 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
8168, 80eqssd 3209 1  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Fincfn 6879   Basecbs 13164   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   DProd cdprd 15247
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  15298  ablfac1eulem  15323  ablfac1eu  15324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-cmn 15107  df-dprd 15249
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