MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1 Unicode version

Theorem dprdf1 15268
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdf1.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdf1.3  |-  ( ph  ->  F : J -1-1-> I
)
Assertion
Ref Expression
dprdf1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  o.  F )  /\  ( G DProd  ( S  o.  F ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )

Proof of Theorem dprdf1
StepHypRef Expression
1 dprdf1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dprdf1.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : J -1-1-> I
)
4 f1f 5437 . . . . . . . 8  |-  ( F : J -1-1-> I  ->  F : J --> I )
5 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( F : J --> I  ->  ran  F  C_  I )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  I
)
71, 2, 6dprdres 15263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  ran  F )  /\  ( G DProd  ( S  |` 
ran  F ) ) 
C_  ( G DProd  S
) ) )
87simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |` 
ran  F ) )
91, 2dprdf2 15242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
10 fssres 5408 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  ran  F 
C_  I )  -> 
( S  |`  ran  F
) : ran  F --> (SubGrp `  G ) )
119, 6, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  ran  F
) : ran  F --> (SubGrp `  G ) )
12 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  ran  F ) : ran  F --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  ran  F
)  =  ran  F
)
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  ran  F )  =  ran  F )
14 f1f1orn 5483 . . . . . 6  |-  ( F : J -1-1-> I  ->  F : J -1-1-onto-> ran  F )
153, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : J -1-1-onto-> ran  F
)
168, 13, 15dprdf1o 15267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F )  /\  ( G DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F ) )  =  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) ) )
1716simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F ) )
18 ssid 3197 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
ran  F
19 cores 5176 . . . 4  |-  ( ran 
F  C_  ran  F  -> 
( ( S  |`  ran  F )  o.  F
)  =  ( S  o.  F ) )
2018, 19ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F )  =  ( S  o.  F
)
2117, 20syl6breq 4062 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  o.  F ) )
2220oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( G DProd 
( ( S  |`  ran  F )  o.  F
) )  =  ( G DProd  ( S  o.  F ) )
2316simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( S  |`  ran  F )  o.  F ) )  =  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) )
2422, 23syl5eqr 2329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  o.  F ) )  =  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) )
257simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  ran  F ) ) 
C_  ( G DProd  S
) )
2624, 25eqsstrd 3212 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  o.  F ) ) 
C_  ( G DProd  S
) )
2721, 26jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  o.  F )  /\  ( G DProd  ( S  o.  F ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  SubGrpcsubg 14615   DProd cdprd 15231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-cmn 15091  df-dprd 15233
  Copyright terms: Public domain W3C validator