Theorem dprdf2 15528

Description: The function S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dprdcntz.2	|- ( ph -> dom S = I )

Assertion

Ref	Expression
dprdf2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem dprdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz.1	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd S )
2		dprdf 15527	. . 3 |- ( G dom DProd S -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
4		dprdcntz.2	. . 3 |- ( ph -> dom S = I )
5	4	feq2d 5548	. 2 |- ( ph -> ( S : dom S --> (SubGrp ` G ) <-> S : I --> (SubGrp ` G ) ) )
6	3, 5	mpbid 202	1 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  SubGrpcsubg 14901   DProd cdprd 15517

This theorem is referenced by:  dprdff  15533  dprdfid  15538  dprdfinv  15540  dprdfadd  15541  dprdfeq0  15543  dprdres  15549  dprdss  15550  dprdf1o  15553  dprdf1  15554  subgdprd  15556  dmdprdsplitlem  15558  dprdcntz2  15559  dpjlem  15572  dpjcntz  15573  dpjdisj  15574  dpjlsm  15575  dpjf  15578  dpjidcl  15579  dpjlid  15582  dpjghm  15584  dpjghm2  15585  ablfac1c  15592  ablfac1eulem  15593  ablfac1eu  15594  ablfaclem2  15607  ablfaclem3  15608  dchrptlem3  21011

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-ixp 7031  df-dprd 15519