MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Unicode version

Theorem dprdf2 15452
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
Assertion
Ref Expression
dprdf2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdf 15451 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G ) )
4 dprdcntz.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
54feq2d 5485 . 2  |-  ( ph  ->  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  <->  S : I --> (SubGrp `  G ) ) )
63, 5mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647   class class class wbr 4125   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358  SubGrpcsubg 14825   DProd cdprd 15441
This theorem is referenced by:  dprdff  15457  dprdfid  15462  dprdfinv  15464  dprdfadd  15465  dprdfeq0  15467  dprdres  15473  dprdss  15474  dprdf1o  15477  dprdf1  15478  subgdprd  15480  dmdprdsplitlem  15482  dprdcntz2  15483  dpjlem  15496  dpjcntz  15497  dpjdisj  15498  dpjlsm  15499  dpjf  15502  dpjidcl  15503  dpjlid  15506  dpjghm  15508  dpjghm2  15509  ablfac1c  15516  ablfac1eulem  15517  ablfac1eu  15518  ablfaclem2  15531  ablfaclem3  15532  dchrptlem3  20728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-ixp 6961  df-dprd 15443
  Copyright terms: Public domain W3C validator