Theorem dprdf2 15242

Description: The function S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dprdcntz.2	|- ( ph -> dom S = I )

Assertion

Ref	Expression
dprdf2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem dprdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz.1	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd S )
2		dprdf 15241	. . 3 |- ( G dom DProd S -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
3	1, 2	syl 15	. 2 |- ( ph -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
4		dprdcntz.2	. . 3 |- ( ph -> dom S = I )
5	4	feq2d 5380	. 2 |- ( ph -> ( S : dom S --> (SubGrp ` G ) <-> S : I --> (SubGrp ` G ) ) )
6	3, 5	mpbid 201	1 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1623   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  SubGrpcsubg 14615   DProd cdprd 15231

This theorem is referenced by:  dprdff  15247  dprdfid  15252  dprdfinv  15254  dprdfadd  15255  dprdfeq0  15257  dprdres  15263  dprdss  15264  dprdf1o  15267  dprdf1  15268  subgdprd  15270  dmdprdsplitlem  15272  dprdcntz2  15273  dpjlem  15286  dpjcntz  15287  dpjdisj  15288  dpjlsm  15289  dpjf  15292  dpjidcl  15293  dpjlid  15296  dpjghm  15298  dpjghm2  15299  ablfac1c  15306  ablfac1eulem  15307  ablfac1eu  15308  ablfaclem2  15321  ablfaclem3  15322  dchrptlem3  20505

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-ixp 6818  df-dprd 15233