Theorem dprdf2 15570

Description: The function S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dprdcntz.2	|- ( ph -> dom S = I )

Assertion

Ref	Expression
dprdf2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem dprdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz.1	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd S )
2		dprdf 15569	. . 3 |- ( G dom DProd S -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
4		dprdcntz.2	. . 3 |- ( ph -> dom S = I )
5	4	feq2d 5584	. 2 |- ( ph -> ( S : dom S --> (SubGrp ` G ) <-> S : I --> (SubGrp ` G ) ) )
6	3, 5	mpbid 203	1 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1653   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  SubGrpcsubg 14943   DProd cdprd 15559

This theorem is referenced by:  dprdff  15575  dprdfid  15580  dprdfinv  15582  dprdfadd  15583  dprdfeq0  15585  dprdres  15591  dprdss  15592  dprdf1o  15595  dprdf1  15596  subgdprd  15598  dmdprdsplitlem  15600  dprdcntz2  15601  dpjlem  15614  dpjcntz  15615  dpjdisj  15616  dpjlsm  15617  dpjf  15620  dpjidcl  15621  dpjlid  15624  dpjghm  15626  dpjghm2  15627  ablfac1c  15634  ablfac1eulem  15635  ablfac1eu  15636  ablfaclem2  15649  ablfaclem3  15650  dchrptlem3  21055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-ixp 7067  df-dprd 15561