Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Unicode version

 Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.2 . . . . 5
2 eldprdi.1 . . . . . 6 DProd
3 reldmdprd 15558 . . . . . . 7 DProd
43brrelex2i 4919 . . . . . 6 DProd
5 dmexg 5130 . . . . . 6
62, 4, 53syl 19 . . . . 5
71, 6eqeltrrd 2511 . . . 4
8 eldprdi.w . . . . 5
9 eldprdi.3 . . . . 5
108, 2, 1, 9dprdfcl 15571 . . . 4
11 dprdfadd.4 . . . . 5
128, 2, 1, 11dprdfcl 15571 . . . 4
13 eqid 2436 . . . . . 6
148, 2, 1, 9, 13dprdff 15570 . . . . 5
1514feqmptd 5779 . . . 4
168, 2, 1, 11, 13dprdff 15570 . . . . 5
1716feqmptd 5779 . . . 4
187, 10, 12, 15, 17offval2 6322 . . 3
192, 1dprdf2 15565 . . . . . 6 SubGrp
2019ffvelrnda 5870 . . . . 5 SubGrp
21 dprdfadd.b . . . . . 6
2221subgcl 14954 . . . . 5 SubGrp
2320, 10, 12, 22syl3anc 1184 . . . 4
248, 2, 1, 9dprdffi 15572 . . . . . 6
258, 2, 1, 11dprdffi 15572 . . . . . 6
26 unfi 7374 . . . . . 6
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . 5
28 ssun1 3510 . . . . . . . . . 10
2928a1i 11 . . . . . . . . 9
3014, 29suppssr 5864 . . . . . . . 8
31 ssun2 3511 . . . . . . . . . 10
3231a1i 11 . . . . . . . . 9
3316, 32suppssr 5864 . . . . . . . 8
3430, 33oveq12d 6099 . . . . . . 7
35 dprdgrp 15563 . . . . . . . . . 10 DProd
362, 35syl 16 . . . . . . . . 9
37 eldprdi.0 . . . . . . . . . . 11
3813, 37grpidcl 14833 . . . . . . . . . 10
3936, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4013, 21, 37grplid 14835 . . . . . . . . 9
4136, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . 8
4241adantr 452 . . . . . . 7
4334, 42eqtrd 2468 . . . . . 6
4443suppss2 6300 . . . . 5
45 ssfi 7329 . . . . 5
4627, 44, 45syl2anc 643 . . . 4
478, 2, 1, 23, 46dprdwd 15569 . . 3
4818, 47eqeltrd 2510 . 2
49 eqid 2436 . . 3 Cntz Cntz
50 grpmnd 14817 . . . 4
5136, 50syl 16 . . 3
52 eqid 2436 . . 3
538, 2, 1, 9, 49dprdfcntz 15573 . . 3 Cntz
548, 2, 1, 11, 49dprdfcntz 15573 . . 3 Cntz
558, 2, 1, 48, 49dprdfcntz 15573 . . 3 Cntz
5651adantr 452 . . . . . . 7
57 vex 2959 . . . . . . . 8
5857a1i 11 . . . . . . 7
59 eldifi 3469 . . . . . . . . . . 11
6059adantl 453 . . . . . . . . . 10
61 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . 10
6214, 60, 61syl2an 464 . . . . . . . . 9
6362snssd 3943 . . . . . . . 8
6413, 49cntzsubm 15134 . . . . . . . 8 Cntz SubMnd
6556, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . 7 Cntz SubMnd
6616adantr 452 . . . . . . . . . 10
67 ffn 5591 . . . . . . . . . 10
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9
69 simprl 733 . . . . . . . . 9
70 fnssres 5558 . . . . . . . . 9
7168, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . 8
72 fvres 5745 . . . . . . . . . . 11
7372adantl 453 . . . . . . . . . 10
742ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
751ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
7674, 75dprdf2 15565 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
7760ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
7876, 77ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
7913subgss 14945 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
819ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
828, 74, 75, 81dprdfcl 15571 . . . . . . . . . . . . . 14
8377, 82mpdan 650 . . . . . . . . . . . . 13
8483snssd 3943 . . . . . . . . . . . 12
8513, 49cntz2ss 15131 . . . . . . . . . . . 12 Cntz Cntz
8680, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 Cntz Cntz
8769sselda 3348 . . . . . . . . . . . . 13
88 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
89 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089eldifbd 3333 . . . . . . . . . . . . . 14
91 nelne2 2694 . . . . . . . . . . . . . 14
9288, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
9374, 75, 87, 77, 92, 49dprdcntz 15566 . . . . . . . . . . . 12 Cntz
9411ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
958, 74, 75, 94dprdfcl 15571 . . . . . . . . . . . . 13
9687, 95mpdan 650 . . . . . . . . . . . 12
9793, 96sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11 Cntz
9886, 97sseldd 3349 . . . . . . . . . 10 Cntz
9973, 98eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9 Cntz
10099ralrimiva 2789 . . . . . . . 8 Cntz
101 ffnfv 5894 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
10271, 100, 101sylanbrc 646 . . . . . . 7 Cntz
103 resss 5170 . . . . . . . . . 10
104 rnss 5098 . . . . . . . . . 10
105103, 104ax-mp 8 . . . . . . . . 9
10649cntzidss 15136 . . . . . . . . 9 Cntz Cntz
10754, 105, 106sylancl 644 . . . . . . . 8 Cntz
108107adantr 452 . . . . . . 7 Cntz
109 cnvss 5045 . . . . . . . . . 10
110 imass1 5239 . . . . . . . . . 10
111103, 109, 110mp2b 10 . . . . . . . . 9
112 ssfi 7329 . . . . . . . . 9
11325, 111, 112sylancl 644 . . . . . . . 8
114113adantr 452 . . . . . . 7
11537, 49, 56, 58, 65, 102, 108, 114gsumzsubmcl 15523 . . . . . 6 g Cntz
116115snssd 3943 . . . . 5 g Cntz
117 fssres 5610 . . . . . . . . 9
11866, 69, 117syl2anc 643 . . . . . . . 8
11913, 37, 49, 56, 58, 118, 108, 114gsumzcl 15518 . . . . . . 7 g
120119snssd 3943 . . . . . 6 g
12113, 49cntzrec 15132 . . . . . 6 g g Cntz Cntz g
122120, 63, 121syl2anc 643 . . . . 5 g Cntz Cntz g
123116, 122mpbid 202 . . . 4 Cntz g
124 fvex 5742 . . . . 5
125124snss 3926 . . . 4 Cntz g Cntz g
126123, 125sylibr 204 . . 3 Cntz g
12713, 37, 21, 49, 51, 7, 24, 25, 52, 14, 16, 53, 54, 55, 126gsumzaddlem 15526 . 2 g g g
12848, 127jca 519 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879   cres 4880  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cixp 7063  cfn 7109  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723   g cgsu 13724  cmnd 14684  cgrp 14685  SubMndcsubmnd 14737  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114   DProd cdprd 15554 This theorem is referenced by:  dprdfsub  15579 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-dprd 15556
 Copyright terms: Public domain W3C validator