Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Unicode version

 Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.2 . . . . 5
2 eldprdi.1 . . . . . 6 DProd
3 reldmdprd 15251 . . . . . . 7 DProd
43brrelex2i 4746 . . . . . 6 DProd
5 dmexg 4955 . . . . . 6
62, 4, 53syl 18 . . . . 5
71, 6eqeltrrd 2371 . . . 4
8 eldprdi.w . . . . 5
9 eldprdi.3 . . . . 5
108, 2, 1, 9dprdfcl 15264 . . . 4
11 dprdfadd.4 . . . . 5
128, 2, 1, 11dprdfcl 15264 . . . 4
13 eqid 2296 . . . . . 6
148, 2, 1, 9, 13dprdff 15263 . . . . 5
1514feqmptd 5591 . . . 4
168, 2, 1, 11, 13dprdff 15263 . . . . 5
1716feqmptd 5591 . . . 4
187, 10, 12, 15, 17offval2 6111 . . 3
192, 1dprdf2 15258 . . . . . 6 SubGrp
20 ffvelrn 5679 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
2119, 20sylan 457 . . . . 5 SubGrp
22 dprdfadd.b . . . . . 6
2322subgcl 14647 . . . . 5 SubGrp
2421, 10, 12, 23syl3anc 1182 . . . 4
258, 2, 1, 9dprdffi 15265 . . . . . 6
268, 2, 1, 11dprdffi 15265 . . . . . 6
27 unfi 7140 . . . . . 6
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . 5
29 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10
3029a1i 10 . . . . . . . . 9
3114, 30suppssr 5675 . . . . . . . 8
32 ssun2 3352 . . . . . . . . . 10
3332a1i 10 . . . . . . . . 9
3416, 33suppssr 5675 . . . . . . . 8
3531, 34oveq12d 5892 . . . . . . 7
36 dprdgrp 15256 . . . . . . . . . 10 DProd
372, 36syl 15 . . . . . . . . 9
38 eldprdi.0 . . . . . . . . . . 11
3913, 38grpidcl 14526 . . . . . . . . . 10
4037, 39syl 15 . . . . . . . . 9
4113, 22, 38grplid 14528 . . . . . . . . 9
4237, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . 8
4342adantr 451 . . . . . . 7
4435, 43eqtrd 2328 . . . . . 6
4544suppss2 6089 . . . . 5
46 ssfi 7099 . . . . 5
4728, 45, 46syl2anc 642 . . . 4
488, 2, 1, 24, 47dprdwd 15262 . . 3
4918, 48eqeltrd 2370 . 2
50 eqid 2296 . . 3 Cntz Cntz
51 grpmnd 14510 . . . 4
5237, 51syl 15 . . 3
53 eqid 2296 . . 3
548, 2, 1, 9, 50dprdfcntz 15266 . . 3 Cntz
558, 2, 1, 11, 50dprdfcntz 15266 . . 3 Cntz
568, 2, 1, 49, 50dprdfcntz 15266 . . 3 Cntz
5752adantr 451 . . . . . . 7
58 vex 2804 . . . . . . . 8
5958a1i 10 . . . . . . 7
60 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11
6160adantl 452 . . . . . . . . . 10
62 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
6314, 61, 62syl2an 463 . . . . . . . . 9
6463snssd 3776 . . . . . . . 8
6513, 50cntzsubm 14827 . . . . . . . 8 Cntz SubMnd
6657, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . 7 Cntz SubMnd
6716adantr 451 . . . . . . . . . 10
68 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
6967, 68syl 15 . . . . . . . . 9
70 simprl 732 . . . . . . . . 9
71 fnssres 5373 . . . . . . . . 9
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . 8
73 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11
7473adantl 452 . . . . . . . . . 10
752ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
761ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
7775, 76dprdf2 15258 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
7861ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
79 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp
8077, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
8113subgss 14638 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . 12
839ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
848, 75, 76, 83dprdfcl 15264 . . . . . . . . . . . . . 14
8578, 84mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13
8685snssd 3776 . . . . . . . . . . . 12
8713, 50cntz2ss 14824 . . . . . . . . . . . 12 Cntz Cntz
8882, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 Cntz Cntz
8970sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
91 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . 15
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
94 nelne2 2549 . . . . . . . . . . . . . 14
9590, 93, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
9675, 76, 89, 78, 95, 50dprdcntz 15259 . . . . . . . . . . . 12 Cntz
9711ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
988, 75, 76, 97dprdfcl 15264 . . . . . . . . . . . . 13
9989, 98mpdan 649 . . . . . . . . . . . 12
10096, 99sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11 Cntz
10188, 100sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 Cntz
10274, 101eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9 Cntz
103102ralrimiva 2639 . . . . . . . 8 Cntz
104 ffnfv 5701 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
10572, 103, 104sylanbrc 645 . . . . . . 7 Cntz
106 resss 4995 . . . . . . . . . 10
107 rnss 4923 . . . . . . . . . 10
108106, 107ax-mp 8 . . . . . . . . 9
10950cntzidss 14829 . . . . . . . . 9 Cntz Cntz
11055, 108, 109sylancl 643 . . . . . . . 8 Cntz
111110adantr 451 . . . . . . 7 Cntz
112 cnvss 4870 . . . . . . . . . 10
113 imass1 5064 . . . . . . . . . 10
114106, 112, 113mp2b 9 . . . . . . . . 9
115 ssfi 7099 . . . . . . . . 9
11626, 114, 115sylancl 643 . . . . . . . 8
117116adantr 451 . . . . . . 7
11838, 50, 57, 59, 66, 105, 111, 117gsumzsubmcl 15216 . . . . . 6 g Cntz
119118snssd 3776 . . . . 5 g Cntz
120 fssres 5424 . . . . . . . . 9
12167, 70, 120syl2anc 642 . . . . . . . 8
12213, 38, 50, 57, 59, 121, 111, 117gsumzcl 15211 . . . . . . 7 g
123122snssd 3776 . . . . . 6 g
12413, 50cntzrec 14825 . . . . . 6 g g Cntz Cntz g
125123, 64, 124syl2anc 642 . . . . 5 g Cntz Cntz g
126119, 125mpbid 201 . . . 4 Cntz g
127 fvex 5555 . . . . 5
128127snss 3761 . . . 4 Cntz g Cntz g
129126, 128sylibr 203 . . 3 Cntz g
13013, 38, 22, 50, 52, 7, 25, 26, 53, 14, 16, 54, 55, 56, 129gsumzaddlem 15219 . 2 g g g
13149, 130jca 518 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cixp 6833  cfn 6879  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416   g cgsu 13417  cmnd 14377  cgrp 14378  SubMndcsubmnd 14430  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   DProd cdprd 15247 This theorem is referenced by:  dprdfsub  15272 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-dprd 15249
 Copyright terms: Public domain W3C validator