Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfcntz Unicode version

Theorem dprdfcntz 15266
 Description: A function on the elements of an internal direct product has pairwise-commuting values. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w
dprdff.1 DProd
dprdff.2
dprdff.3
dprdfcntz.z Cntz
Assertion
Ref Expression
dprdfcntz
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem dprdfcntz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.w . . . . 5
2 dprdff.1 . . . . 5 DProd
3 dprdff.2 . . . . 5
4 dprdff.3 . . . . 5
5 eqid 2296 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dprdff 15263 . . . 4
7 ffn 5405 . . . 4
86, 7syl 15 . . 3
9 ffvelrn 5679 . . . . . 6
106, 9sylan 457 . . . . 5
11 simpr 447 . . . . . . . . . 10
1211fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
1311eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10
1413fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
1512, 14oveq12d 5892 . . . . . . . 8
162ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11 DProd
173ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11
18 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11
19 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
20 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
21 dprdfcntz.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
2216, 17, 18, 19, 20, 21dprdcntz 15259 . . . . . . . . . 10
231, 2, 3, 4dprdfcl 15264 . . . . . . . . . . 11
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
2522, 24sseldd 3194 . . . . . . . . 9
261, 2, 3, 4dprdfcl 15264 . . . . . . . . . . 11
2726adantlr 695 . . . . . . . . . 10
2827adantr 451 . . . . . . . . 9
29 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
3029, 21cntzi 14821 . . . . . . . . 9
3125, 28, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8
3215, 31pm2.61dane 2537 . . . . . . 7
3332ralrimiva 2639 . . . . . 6
348adantr 451 . . . . . . 7
35 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
36 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
3735, 36eqeq12d 2310 . . . . . . . 8
3837ralrn 5684 . . . . . . 7
3934, 38syl 15 . . . . . 6
4033, 39mpbird 223 . . . . 5
41 frn 5411 . . . . . . . 8
426, 41syl 15 . . . . . . 7
4342adantr 451 . . . . . 6
445, 29, 21elcntz 14814 . . . . . 6
4543, 44syl 15 . . . . 5
4610, 40, 45mpbir2and 888 . . . 4
4746ralrimiva 2639 . . 3
48 ffnfv 5701 . . 3
498, 47, 48sylanbrc 645 . 2
50 frn 5411 . 2
5149, 50syl 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cixp 6833  cfn 6879  cbs 13164   cplusg 13224  Cntzccntz 14807   DProd cdprd 15247 This theorem is referenced by:  dprdssv  15267  dprdfinv  15270  dprdfadd  15271  dprdfeq0  15273  dprdlub  15277  dmdprdsplitlem  15288  dpjidcl  15309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-ixp 6834  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-dprd 15249
 Copyright terms: Public domain W3C validator