Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfcntz Structured version   Unicode version

Theorem dprdfcntz 15573
 Description: A function on the elements of an internal direct product has pairwise-commuting values. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w
dprdff.1 DProd
dprdff.2
dprdff.3
dprdfcntz.z Cntz
Assertion
Ref Expression
dprdfcntz
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem dprdfcntz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.w . . . . 5
2 dprdff.1 . . . . 5 DProd
3 dprdff.2 . . . . 5
4 dprdff.3 . . . . 5
5 eqid 2436 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dprdff 15570 . . . 4
7 ffn 5591 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
96ffvelrnda 5870 . . . . 5
10 simpr 448 . . . . . . . . . 10
1110fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
1210eqcomd 2441 . . . . . . . . . 10
1312fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
1411, 13oveq12d 6099 . . . . . . . 8
152ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11 DProd
163ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11
17 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11
18 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
19 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
20 dprdfcntz.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
2115, 16, 17, 18, 19, 20dprdcntz 15566 . . . . . . . . . 10
221, 2, 3, 4dprdfcl 15571 . . . . . . . . . . 11
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
2421, 23sseldd 3349 . . . . . . . . 9
251, 2, 3, 4dprdfcl 15571 . . . . . . . . . . 11
2625adantlr 696 . . . . . . . . . 10
2726adantr 452 . . . . . . . . 9
28 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
2928, 20cntzi 15128 . . . . . . . . 9
3024, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8
3114, 30pm2.61dane 2682 . . . . . . 7
3231ralrimiva 2789 . . . . . 6
338adantr 452 . . . . . . 7
34 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
35 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
3634, 35eqeq12d 2450 . . . . . . . 8
3736ralrn 5873 . . . . . . 7
3833, 37syl 16 . . . . . 6
3932, 38mpbird 224 . . . . 5
40 frn 5597 . . . . . . . 8
416, 40syl 16 . . . . . . 7
4241adantr 452 . . . . . 6
435, 28, 20elcntz 15121 . . . . . 6
4442, 43syl 16 . . . . 5
459, 39, 44mpbir2and 889 . . . 4
4645ralrimiva 2789 . . 3
47 ffnfv 5894 . . 3
488, 46, 47sylanbrc 646 . 2
49 frn 5597 . 2
5048, 49syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cixp 7063  cfn 7109  cbs 13469   cplusg 13529  Cntzccntz 15114   DProd cdprd 15554 This theorem is referenced by:  dprdssv  15574  dprdfinv  15577  dprdfadd  15578  dprdfeq0  15580  dprdlub  15584  dmdprdsplitlem  15595  dpjidcl  15616 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-ixp 7064  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-dprd 15556
 Copyright terms: Public domain W3C validator