MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Unicode version

Theorem dprdfid 15503
Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfid.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfid  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdi.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
3 eldprdi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 15493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
1110ffvelrnda 5810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1312subg0cl 14880 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
169, 15ifclda 3710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
17 snfi 7124 . . . . 5  |-  { X }  e.  Fin
18 eldifsni 3872 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1918adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
20 ifnefalse 3691 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2221suppss2 6240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
23 ssfi 7266 . . . . 5  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2417, 22, 23sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
252, 3, 4, 16, 24dprdwd 15497 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
261, 25syl5eqel 2472 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
27 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
28 dprdgrp 15491 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
29 grpmnd 14745 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
303, 28, 293syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
31 reldmdprd 15486 . . . . . . 7  |-  Rel  dom DProd
3231brrelex2i 4860 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
33 dmexg 5071 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
343, 32, 333syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
354, 34eqeltrrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
36 dprdfid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
372, 3, 4, 26, 27dprdff 15498 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
381cnveqi 4988 . . . . . 6  |-  `' F  =  `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
3938imaeq1i 5141 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
4039, 22syl5eqss 3336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
4127, 12, 30, 35, 36, 37, 40gsumpt 15473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
42 iftrue 3689 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4342, 1fvmptg 5744 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4436, 5, 43syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4541, 44eqtrd 2420 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4626, 45jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   {crab 2654   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    C_ wss 3264   ifcif 3683   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   "cima 4822   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   X_cixp 7000   Fincfn 7046   Basecbs 13397   0gc0g 13651    gsumg cgsu 13652   Mndcmnd 14612   Grpcgrp 14613  SubGrpcsubg 14866   DProd cdprd 15482
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  15508  dprdub  15511  dpjrid  15548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-dprd 15484
  Copyright terms: Public domain W3C validator