MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Unicode version

Theorem dprdfid 15268
Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfid.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfid  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdi.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
3 eldprdi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 15258 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
11 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
1210, 11sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
13 eldprdi.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1413subg0cl 14645 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1512, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
179, 16ifclda 3605 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
18 snfi 6957 . . . . 5  |-  { X }  e.  Fin
19 eldifsni 3763 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
2019adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
21 ifnefalse 3586 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2220, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2322suppss2 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
24 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2518, 23, 24sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
262, 3, 4, 17, 25dprdwd 15262 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
271, 26syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
28 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
29 dprdgrp 15256 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
30 grpmnd 14510 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
313, 29, 303syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
32 reldmdprd 15251 . . . . . . 7  |-  Rel  dom DProd
3332brrelex2i 4746 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
34 dmexg 4955 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
353, 33, 343syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
364, 35eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
37 dprdfid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
382, 3, 4, 27, 28dprdff 15263 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
391cnveqi 4872 . . . . . 6  |-  `' F  =  `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
4039imaeq1i 5025 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
4140, 23syl5eqss 3235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
4228, 13, 31, 36, 37, 38, 41gsumpt 15238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
43 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4443, 1fvmptg 5616 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4537, 5, 44syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4642, 45eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4727, 46jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Fincfn 6879   Basecbs 13164   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   DProd cdprd 15247
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  15273  dprdub  15276  dpjrid  15313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-dprd 15249
  Copyright terms: Public domain W3C validator