MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Unicode version

Theorem dprdfid 15252
Description: The zero function is the only function that sums two zero in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
eldprdi.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
eldprdi.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
eldprdi.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdfid.3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
dprdfid.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
dprdfid.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
dprdfid  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Distinct variable groups:    h, n, A    h, F    h, i, G, n    h, I, i, n    ph, n    .0. , h, n    S, h, i, n   
h, X, n
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( i)    F( i, n)    W( h, i, n)    X( i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
2 eldprdi.w . . . 4  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
3 eldprdi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
4 eldprdi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
5 dprdfid.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( S `
 X ) )
65ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  X
) )
7 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  n  =  X )
87fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  X ) )
96, 8eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  n  =  X )  ->  A  e.  ( S `  n
) )
103, 4dprdf2 15242 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
1210, 11sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
13 eldprdi.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1413subg0cl 14629 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
1512, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  -.  n  =  X )  ->  .0.  e.  ( S `
 n ) )
179, 16ifclda 3592 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
18 snfi 6941 . . . . 5  |-  { X }  e.  Fin
19 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
2019adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
21 ifnefalse 3573 . . . . . . 7  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2220, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
2322suppss2 6073 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
24 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2518, 23, 24sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
262, 3, 4, 17, 25dprdwd 15246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )  e.  W
)
271, 26syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
28 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
29 dprdgrp 15240 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
30 grpmnd 14494 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
313, 29, 303syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
32 reldmdprd 15235 . . . . . . 7  |-  Rel  dom DProd
3332brrelex2i 4730 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
34 dmexg 4939 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
353, 33, 343syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
364, 35eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
37 dprdfid.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
382, 3, 4, 27, 28dprdff 15247 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
391cnveqi 4856 . . . . . 6  |-  `' F  =  `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
4039imaeq1i 5009 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
4140, 23syl5eqss 3222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
4228, 13, 31, 36, 37, 38, 41gsumpt 15222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
43 iftrue 3571 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  A )
4443, 1fvmptg 5600 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A  e.  ( S `  X ) )  -> 
( F `  X
)  =  A )
4537, 5, 44syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  A )
4642, 45eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  A )
4727, 46jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  W  /\  ( G  gsumg  F )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   DProd cdprd 15231
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  15257  dprdub  15260  dpjrid  15297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-dprd 15233
  Copyright terms: Public domain W3C validator