Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfinv Unicode version

Theorem dprdfinv 15347
 Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdfinv.b
Assertion
Ref Expression
dprdfinv g g
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . . 6 DProd
2 dprdgrp 15333 . . . . . 6 DProd
31, 2syl 15 . . . . 5
4 eqid 2358 . . . . . 6
5 dprdfinv.b . . . . . 6
64, 5grpinvf 14619 . . . . 5
73, 6syl 15 . . . 4
8 eldprdi.w . . . . 5
9 eldprdi.2 . . . . 5
10 eldprdi.3 . . . . 5
118, 1, 9, 10, 4dprdff 15340 . . . 4
12 fcompt 5774 . . . 4
137, 11, 12syl2anc 642 . . 3
141, 9dprdf2 15335 . . . . . 6 SubGrp
15 ffvelrn 5743 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
1614, 15sylan 457 . . . . 5 SubGrp
178, 1, 9, 10dprdfcl 15341 . . . . 5
185subginvcl 14723 . . . . 5 SubGrp
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . 4
208, 1, 9, 10dprdffi 15342 . . . . 5
21 ssid 3273 . . . . . . . . . 10
2221a1i 10 . . . . . . . . 9
2311, 22suppssr 5739 . . . . . . . 8
2423fveq2d 5609 . . . . . . 7
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . 10
2625, 5grpinvid 14626 . . . . . . . . 9
273, 26syl 15 . . . . . . . 8
2827adantr 451 . . . . . . 7
2924, 28eqtrd 2390 . . . . . 6
3029suppss2 6157 . . . . 5
31 ssfi 7168 . . . . 5
3220, 30, 31syl2anc 642 . . . 4
338, 1, 9, 19, 32dprdwd 15339 . . 3
3413, 33eqeltrd 2432 . 2
35 eqid 2358 . . 3 Cntz Cntz
36 reldmdprd 15328 . . . . . 6 DProd
3736brrelex2i 4809 . . . . 5 DProd
38 dmexg 5018 . . . . 5
391, 37, 383syl 18 . . . 4
409, 39eqeltrrd 2433 . . 3
418, 1, 9, 10, 35dprdfcntz 15343 . . 3 Cntz
424, 25, 35, 5, 3, 40, 11, 41, 20gsumzinv 15310 . 2 g g
4334, 42jca 518 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  crab 2623  cvv 2864   cdif 3225   wss 3228  csn 3716   class class class wbr 4102   cmpt 4156  ccnv 4767   cdm 4768  cima 4771   ccom 4772  wf 5330  cfv 5334  (class class class)co 5942  cixp 6902  cfn 6948  cbs 13239  c0g 13493   g cgsu 13494  cgrp 14455  cminusg 14456  SubGrpcsubg 14708  Cntzccntz 14884   DProd cdprd 15324 This theorem is referenced by:  dprdfsub  15349 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-hash 11428  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-mhm 14508  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-subg 14711  df-ghm 14774  df-gim 14816  df-cntz 14886  df-oppg 14912  df-cmn 15184  df-dprd 15326
 Copyright terms: Public domain W3C validator