Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfinv Structured version   Unicode version

Theorem dprdfinv 15608
 Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdfinv.b
Assertion
Ref Expression
dprdfinv g g
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . . 6 DProd
2 dprdgrp 15594 . . . . . 6 DProd
31, 2syl 16 . . . . 5
4 eqid 2442 . . . . . 6
5 dprdfinv.b . . . . . 6
64, 5grpinvf 14880 . . . . 5
73, 6syl 16 . . . 4
8 eldprdi.w . . . . 5
9 eldprdi.2 . . . . 5
10 eldprdi.3 . . . . 5
118, 1, 9, 10, 4dprdff 15601 . . . 4
12 fcompt 5933 . . . 4
137, 11, 12syl2anc 644 . . 3
141, 9dprdf2 15596 . . . . . 6 SubGrp
1514ffvelrnda 5899 . . . . 5 SubGrp
168, 1, 9, 10dprdfcl 15602 . . . . 5
175subginvcl 14984 . . . . 5 SubGrp
1815, 16, 17syl2anc 644 . . . 4
198, 1, 9, 10dprdffi 15603 . . . . 5
20 ssid 3353 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
2211, 21suppssr 5893 . . . . . . . 8
2322fveq2d 5761 . . . . . . 7
24 eldprdi.0 . . . . . . . . . 10
2524, 5grpinvid 14887 . . . . . . . . 9
263, 25syl 16 . . . . . . . 8
2726adantr 453 . . . . . . 7
2823, 27eqtrd 2474 . . . . . 6
2928suppss2 6329 . . . . 5
30 ssfi 7358 . . . . 5
3119, 29, 30syl2anc 644 . . . 4
328, 1, 9, 18, 31dprdwd 15600 . . 3
3313, 32eqeltrd 2516 . 2
34 eqid 2442 . . 3 Cntz Cntz
35 reldmdprd 15589 . . . . . 6 DProd
3635brrelex2i 4948 . . . . 5 DProd
37 dmexg 5159 . . . . 5
381, 36, 373syl 19 . . . 4
399, 38eqeltrrd 2517 . . 3
408, 1, 9, 10, 34dprdfcntz 15604 . . 3 Cntz
414, 24, 34, 5, 3, 39, 11, 40, 19gsumzinv 15571 . 2 g g
4233, 41jca 520 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  crab 2715  cvv 2962   cdif 3303   wss 3306  csn 3838   class class class wbr 4237   cmpt 4291  ccnv 4906   cdm 4907  cima 4910   ccom 4911  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cixp 7092  cfn 7138  cbs 13500  c0g 13754   g cgsu 13755  cgrp 14716  cminusg 14717  SubGrpcsubg 14969  Cntzccntz 15145   DProd cdprd 15585 This theorem is referenced by:  dprdfsub  15610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-gim 15077  df-cntz 15147  df-oppg 15173  df-cmn 15445  df-dprd 15587
 Copyright terms: Public domain W3C validator