Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfsub Structured version   Unicode version

Theorem dprdfsub 15571
 Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdfsub.b
Assertion
Ref Expression
dprdfsub g g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dprdfsub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . . . . 8
2 eldprdi.1 . . . . . . . 8 DProd
3 eldprdi.2 . . . . . . . 8
4 eldprdi.3 . . . . . . . 8
5 eqid 2435 . . . . . . . 8
61, 2, 3, 4, 5dprdff 15562 . . . . . . 7
76ffvelrnda 5862 . . . . . 6
8 dprdfadd.4 . . . . . . . 8
91, 2, 3, 8, 5dprdff 15562 . . . . . . 7
109ffvelrnda 5862 . . . . . 6
11 eqid 2435 . . . . . . 7
12 eqid 2435 . . . . . . 7
13 dprdfsub.b . . . . . . 7
145, 11, 12, 13grpsubval 14840 . . . . . 6
157, 10, 14syl2anc 643 . . . . 5
1615mpteq2dva 4287 . . . 4
17 reldmdprd 15550 . . . . . . . 8 DProd
1817brrelex2i 4911 . . . . . . 7 DProd
19 dmexg 5122 . . . . . . 7
202, 18, 193syl 19 . . . . . 6
213, 20eqeltrrd 2510 . . . . 5
226feqmptd 5771 . . . . 5
239feqmptd 5771 . . . . 5
2421, 7, 10, 22, 23offval2 6314 . . . 4
25 fvex 5734 . . . . . 6
2625a1i 11 . . . . 5
27 dprdgrp 15555 . . . . . . . . . 10 DProd
282, 27syl 16 . . . . . . . . 9
295, 12, 28grpinvf1o 14853 . . . . . . . 8
30 f1of 5666 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7
3231feqmptd 5771 . . . . . 6
33 fveq2 5720 . . . . . 6
3410, 23, 32, 33fmptco 5893 . . . . 5
3521, 7, 26, 22, 34offval2 6314 . . . 4
3616, 24, 353eqtr4d 2477 . . 3
37 eldprdi.0 . . . . 5
3837, 1, 2, 3, 8, 12dprdfinv 15569 . . . . . 6 g g
3938simpld 446 . . . . 5
4037, 1, 2, 3, 4, 39, 11dprdfadd 15570 . . . 4 g g g
4140simpld 446 . . 3
4236, 41eqeltrd 2509 . 2
4336oveq2d 6089 . . 3 g g
4438simprd 450 . . . . 5 g g
4544oveq2d 6089 . . . 4 g g g g
4640simprd 450 . . . 4 g g g
475dprdssv 15566 . . . . . 6 DProd
4837, 1, 2, 3, 4eldprdi 15568 . . . . . 6 g DProd
4947, 48sseldi 3338 . . . . 5 g
5037, 1, 2, 3, 8eldprdi 15568 . . . . . 6 g DProd
5147, 50sseldi 3338 . . . . 5 g
525, 11, 12, 13grpsubval 14840 . . . . 5 g g g g g g
5349, 51, 52syl2anc 643 . . . 4 g g g g
5445, 46, 533eqtr4d 2477 . . 3 g g g
5543, 54eqtrd 2467 . 2 g g g
5642, 55jca 519 1 g g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   ccom 4874  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cixp 7055  cfn 7101  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715   g cgsu 13716  cgrp 14677  cminusg 14678  csg 14680   DProd cdprd 15546 This theorem is referenced by:  dprdfeq0  15572  dprdf11  15573  dprdsubg  15574 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-gim 15038  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-cmn 15406  df-dprd 15548
 Copyright terms: Public domain W3C validator