Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Unicode version

Theorem dprdlub 15576
 Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 DProd
dprdlub.2
dprdlub.3 SubGrp
dprdlub.4
Assertion
Ref Expression
dprdlub DProd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 DProd
2 dprdlub.2 . . 3
3 eqid 2435 . . . 4
4 eqid 2435 . . . 4
53, 4dprdval 15553 . . 3 DProd DProd g
61, 2, 5syl2anc 643 . 2 DProd g
7 eqid 2435 . . . . 5 Cntz Cntz
81adantr 452 . . . . . 6 DProd
9 dprdgrp 15555 . . . . . 6 DProd
10 grpmnd 14809 . . . . . 6
118, 9, 103syl 19 . . . . 5
122adantr 452 . . . . . 6
13 reldmdprd 15550 . . . . . . . 8 DProd
1413brrelex2i 4911 . . . . . . 7 DProd
15 dmexg 5122 . . . . . . 7
168, 14, 153syl 19 . . . . . 6
1712, 16eqeltrrd 2510 . . . . 5
18 dprdlub.3 . . . . . . 7 SubGrp
1918adantr 452 . . . . . 6 SubGrp
20 subgsubm 14954 . . . . . 6 SubGrp SubMnd
2119, 20syl 16 . . . . 5 SubMnd
22 simpr 448 . . . . . . . 8
23 eqid 2435 . . . . . . . 8
244, 8, 12, 22, 23dprdff 15562 . . . . . . 7
25 ffn 5583 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
27 dprdlub.4 . . . . . . . . 9
2827adantlr 696 . . . . . . . 8
294, 8, 12, 22dprdfcl 15563 . . . . . . . 8
3028, 29sseldd 3341 . . . . . . 7
3130ralrimiva 2781 . . . . . 6
32 ffnfv 5886 . . . . . 6
3326, 31, 32sylanbrc 646 . . . . 5
344, 8, 12, 22, 7dprdfcntz 15565 . . . . 5 Cntz
354, 8, 12, 22dprdffi 15564 . . . . 5
363, 7, 11, 17, 21, 33, 34, 35gsumzsubmcl 15515 . . . 4 g
37 eqid 2435 . . . 4 g g
3836, 37fmptd 5885 . . 3 g
39 frn 5589 . . 3 g g
4038, 39syl 16 . 2 g
416, 40eqsstrd 3374 1 DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cixp 7055  cfn 7101  cbs 13461  c0g 13715   g cgsu 13716  cmnd 14676  cgrp 14677  SubMndcsubmnd 14729  SubGrpcsubg 14930  Cntzccntz 15106   DProd cdprd 15546 This theorem is referenced by:  dprdspan  15577  dprdz  15580  dprdcntz2  15588  dprd2dlem1  15591  dprdsplit  15598  ablfac1eu  15623 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-dprd 15548
 Copyright terms: Public domain W3C validator