MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Unicode version

Theorem dprdlub 15576
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdlub.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdlub.3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdlub.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( S `  k )  C_  T )
Assertion
Ref Expression
dprdlub  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S ) 
C_  T )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    ph, k    S, k    T, k

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdlub.2 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 eqid 2435 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }
53, 4dprdval 15553 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  dom  S  =  I )  ->  ( G DProd  S
)  =  ran  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) )
61, 2, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ran  ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) )
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
81adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  G dom DProd  S )
9 dprdgrp 15555 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
10 grpmnd 14809 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
118, 9, 103syl 19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  G  e.  Mnd )
122adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  dom  S  =  I )
13 reldmdprd 15550 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom DProd
1413brrelex2i 4911 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
15 dmexg 5122 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
168, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  dom  S  e. 
_V )
1712, 16eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  I  e.  _V )
18 dprdlub.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
20 subgsubm 14954 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
22 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )
23 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
244, 8, 12, 22, 23dprdff 15562 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  f :
I --> ( Base `  G
) )
25 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( f : I --> ( Base `  G )  ->  f  Fn  I )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  f  Fn  I )
27 dprdlub.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( S `  k )  C_  T )
2827adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( S `  k )  C_  T
)
294, 8, 12, 22dprdfcl 15563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( f `  k )  e.  ( S `  k ) )
3028, 29sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )  /\  k  e.  I
)  ->  ( f `  k )  e.  T
)
3130ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  A. k  e.  I  ( f `  k )  e.  T
)
32 ffnfv 5886 . . . . . 6  |-  ( f : I --> T  <->  ( f  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( f `  k )  e.  T
) )
3326, 31, 32sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  f :
I --> T )
344, 8, 12, 22, 7dprdfcntz 15565 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
354, 8, 12, 22dprdffi 15564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ( `' f " ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
363, 7, 11, 17, 21, 33, 34, 35gsumzsubmcl 15515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  T )
37 eqid 2435 . . . 4  |-  ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) )  =  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) )
3836, 37fmptd 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) : { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } --> T )
39 frn 5589 . . 3  |-  ( ( f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) ) : { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } --> T  ->  ran  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } 
|->  ( G  gsumg  f ) )  C_  T )
4038, 39syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  |->  ( G  gsumg  f ) )  C_  T )
416, 40eqsstrd 3374 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S ) 
C_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   X_cixp 7055   Fincfn 7101   Basecbs 13461   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677  SubMndcsubmnd 14729  SubGrpcsubg 14930  Cntzccntz 15106   DProd cdprd 15546
This theorem is referenced by:  dprdspan  15577  dprdz  15580  dprdcntz2  15588  dprd2dlem1  15591  dprdsplit  15598  ablfac1eu  15623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-dprd 15548
  Copyright terms: Public domain W3C validator