MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Unicode version

Theorem dprdpr 15301
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdpr.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
dprdpr.1  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
dprdpr.2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
dprdpr  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 dmdprdpr.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3 xpscf 13484 . . . 4  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
5 1n0 6510 . . . . 5  |-  1o  =/=  (/)
65necomi 2541 . . . 4  |-  (/)  =/=  1o
7 disjsn2 3707 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
86, 7mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
9 df2o3 6508 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
10 df-pr 3660 . . . . 5  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
119, 10eqtri 2316 . . . 4  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
1211a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
13 dprdpr.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
14 dprdpr.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
15 dprdpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
16 dmdprdpr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
17 dmdprdpr.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 15300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 15299 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) ) )
21 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
224, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
23 0ex 4166 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
2423prid1 3747 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
2524, 9eleqtrri 2369 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
26 fnressn 5721 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
2722, 25, 26sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
28 xpsc0 13478 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
291, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
3029opeq2d 3819 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
3130sneqd 3666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
3227, 31eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
3332oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
34 dprdsn 15287 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
3523, 1, 34sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
3635simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
3733, 36eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
38 1on 6502 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
3938elexi 2810 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
4039prid2 3748 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4140, 9eleqtrri 2369 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
42 fnressn 5721 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
4322, 41, 42sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
44 xpsc1 13479 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
452, 44syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
4645opeq2d 3819 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
4746sneqd 3666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
4843, 47eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
4948oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
50 dprdsn 15287 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5138, 2, 50sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5251simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5349, 52eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5437, 53oveq12d 5892 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
5520, 54eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    +c ccda 7809   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   LSSumclsm 14961   DProd cdprd 15247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-dprd 15249
  Copyright terms: Public domain W3C validator