MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Unicode version

Theorem dprdspan 15311
Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dprdspan  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
2 eqidd 2317 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
3 dprdgrp 15289 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
4 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
54subgacs 14701 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
6 acsmre 13603 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
73, 5, 63syl 18 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
8 dprdf 15290 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
9 ffn 5427 . . . . . . . 8  |-  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  dom  S )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  Fn  dom  S )
11 fniunfv 5815 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  dom  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  =  U. ran  S )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  = 
U. ran  S )
13 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  G dom DProd  S )
14 eqidd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  dom  S  =  dom  S )
15 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  k  e.  dom  S )
1613, 14, 15dprdub 15309 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( G DProd  S ) )
1716ralrimiva 2660 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
18 iunss 3980 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  ( G DProd  S
)  <->  A. k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  ( G DProd  S ) )
1917, 18sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
2012, 19eqsstr3d 3247 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( G DProd  S
) )
214dprdssv 15300 . . . . 5  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
2220, 21syl6ss 3225 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( Base `  G
) )
23 dprdspan.k . . . . 5  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2423mrccl 13562 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( Base `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
257, 22, 24syl2anc 642 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  e.  (SubGrp `  G ) )
26 eqimss 3264 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k )  =  U. ran  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  U. ran  S
)
2712, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
28 iunss 3980 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  U. ran  S  <->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
2927, 28sylib 188 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
3029r19.21bi 2675 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  U. ran  S )
3123mrcssid 13568 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  U. ran  S  C_  ( K `  U. ran  S
) )
327, 22, 31syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( K `  U. ran  S ) )
3332adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  U. ran  S  C_  ( K `  U. ran  S ) )
3430, 33sstrd 3223 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
351, 2, 25, 34dprdlub 15310 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
36 dprdsubg 15308 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
3723mrcsscl 13571 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( G DProd 
S )  /\  ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  C_  ( G DProd  S ) )
387, 20, 36, 37syl3anc 1182 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  C_  ( G DProd  S ) )
3935, 38eqssd 3230 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   U.cuni 3864   U_ciun 3942   class class class wbr 4060   dom cdm 4726   ran crn 4727    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195  Moorecmre 13533  mrClscmrc 13534  ACScacs 13536   Grpcgrp 14411  SubGrpcsubg 14664   DProd cdprd 15280
This theorem is referenced by:  dprdres  15312  dprdf1o  15316  subgdprd  15319  dprdsn  15320  dprd2dlem1  15325  dprd2da  15326  dprd2db  15327  dmdprdsplit2lem  15329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-gim 14772  df-cntz 14842  df-oppg 14868  df-cmn 15140  df-dprd 15282
  Copyright terms: Public domain W3C validator