MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Unicode version

Theorem dprdspan 15262
Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dprdspan  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
2 eqidd 2284 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
3 dprdgrp 15240 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
54subgacs 14652 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
6 acsmre 13554 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
73, 5, 63syl 18 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
8 dprdf 15241 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
9 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( S : dom  S --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  dom  S )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  Fn  dom  S )
11 fniunfv 5773 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  dom  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  =  U. ran  S )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  = 
U. ran  S )
13 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  G dom DProd  S )
14 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  dom  S  =  dom  S )
15 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  k  e.  dom  S )
1613, 14, 15dprdub 15260 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( G DProd  S ) )
1716ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
18 iunss 3943 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  ( G DProd  S
)  <->  A. k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  ( G DProd  S ) )
1917, 18sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  ( G DProd  S ) )
2012, 19eqsstr3d 3213 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( G DProd  S
) )
214dprdssv 15251 . . . . 5  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
2220, 21syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( Base `  G
) )
23 dprdspan.k . . . . 5  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2423mrccl 13513 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( Base `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
257, 22, 24syl2anc 642 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  e.  (SubGrp `  G ) )
26 eqimss 3230 . . . . . . 7  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k )  =  U. ran  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `  k
)  C_  U. ran  S
)
2712, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  U_ k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
28 iunss 3943 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  dom  S ( S `  k ) 
C_  U. ran  S  <->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
2927, 28sylib 188 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( S `
 k )  C_  U.
ran  S )
3029r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  U. ran  S )
3123mrcssid 13519 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  U. ran  S  C_  ( K `  U. ran  S
) )
327, 22, 31syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  U. ran  S 
C_  ( K `  U. ran  S ) )
3332adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  U. ran  S  C_  ( K `  U. ran  S ) )
3430, 33sstrd 3189 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
351, 2, 25, 34dprdlub 15261 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( K `  U. ran  S
) )
36 dprdsubg 15259 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
3723mrcsscl 13522 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U.
ran  S  C_  ( G DProd 
S )  /\  ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ran  S )  C_  ( G DProd  S ) )
387, 20, 36, 37syl3anc 1182 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( K `
 U. ran  S
)  C_  ( G DProd  S ) )
3935, 38eqssd 3196 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =  ( K `  U. ran  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   DProd cdprd 15231
This theorem is referenced by:  dprdres  15263  dprdf1o  15267  subgdprd  15270  dprdsn  15271  dprd2dlem1  15276  dprd2da  15277  dprd2db  15278  dmdprdsplit2lem  15280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-cmn 15091  df-dprd 15233
  Copyright terms: Public domain W3C validator