MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Unicode version

Theorem dprdssv 15574
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dprdssv  |-  ( G DProd 
S )  C_  B

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables  x  f  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  dom  S  =  dom  S
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }
42, 3eldprd 15562 . . . 4  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
51, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) )
6 dprdssv.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
8 dprdgrp 15563 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
9 grpmnd 14817 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Mnd )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  G  e.  Mnd )
12 reldmdprd 15558 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom DProd
1312brrelex2i 4919 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
14 dmexg 5130 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  e.  _V )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  dom  S  e. 
_V )
17 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  G dom DProd  S )
18 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  dom  S  =  dom  S )
19 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
203, 17, 18, 19, 6dprdff 15570 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  f : dom  S --> B )
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 15573 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ran  f  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  f ) )
223, 17, 18, 19dprdffi 15572 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ( `' f " ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 15518 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  B )
24 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  B  <->  ( G  gsumg  f )  e.  B ) )
2523, 24syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } )  ->  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  x  e.  B
) )
2625rexlimdva 2830 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G 
gsumg  f )  ->  x  e.  B ) )
2726imp 419 . . 3  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G 
gsumg  f ) )  ->  x  e.  B )
285, 27sylbi 188 . 2  |-  ( x  e.  ( G DProd  S
)  ->  x  e.  B )
2928ssriv 3352 1  |-  ( G DProd 
S )  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   X_cixp 7063   Fincfn 7109   Basecbs 13469   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724   Mndcmnd 14684   Grpcgrp 14685  Cntzccntz 15114   DProd cdprd 15554
This theorem is referenced by:  dprdfsub  15579  dprdf11  15581  dprdsubg  15582  dprdspan  15585  dprdcntz2  15596  dprd2da  15600  dmdprdsplit2lem  15603  ablfac1c  15629  ablfac1eulem  15630  ablfac1eu  15631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-dprd 15556
  Copyright terms: Public domain W3C validator