Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Unicode version

Theorem dprdssv 15574
 Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b
Assertion
Ref Expression
dprdssv DProd

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4
2 eqid 2436 . . . . 5
3 eqid 2436 . . . . 5
42, 3eldprd 15562 . . . 4 DProd DProd g
51, 4ax-mp 8 . . 3 DProd DProd g
6 dprdssv.b . . . . . . 7
7 eqid 2436 . . . . . . 7 Cntz Cntz
8 dprdgrp 15563 . . . . . . . . 9 DProd
9 grpmnd 14817 . . . . . . . . 9
108, 9syl 16 . . . . . . . 8 DProd
1110adantr 452 . . . . . . 7 DProd
12 reldmdprd 15558 . . . . . . . . . 10 DProd
1312brrelex2i 4919 . . . . . . . . 9 DProd
14 dmexg 5130 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8 DProd
1615adantr 452 . . . . . . 7 DProd
17 simpl 444 . . . . . . . 8 DProd DProd
18 eqidd 2437 . . . . . . . 8 DProd
19 simpr 448 . . . . . . . 8 DProd
203, 17, 18, 19, 6dprdff 15570 . . . . . . 7 DProd
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 15573 . . . . . . 7 DProd Cntz
223, 17, 18, 19dprdffi 15572 . . . . . . 7 DProd
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 15518 . . . . . 6 DProd g
24 eleq1 2496 . . . . . 6 g g
2523, 24syl5ibrcom 214 . . . . 5 DProd g
2625rexlimdva 2830 . . . 4 DProd g
2726imp 419 . . 3 DProd g
285, 27sylbi 188 . 2 DProd
2928ssriv 3352 1 DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212  ccnv 4877   cdm 4878  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081  cixp 7063  cfn 7109  cbs 13469  c0g 13723   g cgsu 13724  cmnd 14684  cgrp 14685  Cntzccntz 15114   DProd cdprd 15554 This theorem is referenced by:  dprdfsub  15579  dprdf11  15581  dprdsubg  15582  dprdspan  15585  dprdcntz2  15596  dprd2da  15600  dmdprdsplit2lem  15603  ablfac1c  15629  ablfac1eulem  15630  ablfac1eu  15631 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-dprd 15556
 Copyright terms: Public domain W3C validator