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Theorem dprdsubg 15502
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables  f 
g  h  i  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21dprdssv 15494 . . 3  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G ) )
4 eqid 2380 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 eqid 2380 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }
6 id 20 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
7 eqidd 2381 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
8 fvex 5675 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
9 fnconstg 5564 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
108, 9mp1i 12 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
118fvconst2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  S  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
1211adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  =  ( 0g
`  G ) )
13 dprdf 15484 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
1413ffvelrnda 5802 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
154subg0cl 14872 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1712, 16eqeltrd 2454 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  e.  ( S `
 k ) )
1817ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k ) )
19 0fin 7265 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
20 dprdgrp 15483 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
211, 4grpidcl 14753 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( 0g
`  G )  e.  ( Base `  G
) )
23 fconst6g 5565 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g
`  G ) } ) : dom  S --> ( Base `  G )
)
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) : dom  S --> ( Base `  G
) )
25 eldifi 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( dom  S  \  (/) )  ->  k  e. 
dom  S )
2625adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  ( dom  S 
\  (/) ) )  -> 
k  e.  dom  S
)
2726, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  ( dom  S 
\  (/) ) )  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
2824, 27suppss 5795 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( `' ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  (/) )
29 ssfi 7258 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  (/) )  -> 
( `' ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
3019, 28, 29sylancr 645 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( `' ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
315, 6, 7dprdw 15488 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  <->  ( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S  /\  A. k  e. 
dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( `' ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin ) ) )
3210, 18, 30, 31mpbir3and 1137 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
334, 5, 6, 7, 32eldprdi 15496 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G 
gsumg  ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  ( G DProd  S
) )
34 ne0i 3570 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  ( G DProd 
S )  ->  ( G DProd  S )  =/=  (/) )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =/=  (/) )
36 eqid 2380 . . . . 5  |-  dom  S  =  dom  S
374, 5eldprd 15482 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
3837baibd 876 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G 
gsumg  f ) ) )
394, 5eldprd 15482 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
4039baibd 876 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G 
gsumg  g ) ) )
4138, 40anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( ( x  e.  ( G DProd  S
)  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <-> 
( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
4236, 41mpan 652 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
43 reeanv 2811 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) )
44 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  G dom DProd  S )
45 eqidd 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  dom  S  =  dom  S )
46 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
47 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
48 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
494, 5, 44, 45, 46, 47, 48dprdfsub 15499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
( f  o F ( -g `  G
) g )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  ( f  o F ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) ) )
5049simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  o F ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
5149simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
f  o F (
-g `  G )
g )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
524, 5, 44, 45, 51eldprdi 15496 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  o F ( -g `  G
) g ) )  e.  ( G DProd  S
) )
5350, 52eqeltrrd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) )  e.  ( G DProd  S ) )
54 oveq12 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  =  ( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
5554eleq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S )  <-> 
( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G
) ( G  gsumg  g ) )  e.  ( G DProd 
S ) ) )
5653, 55syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
( x  =  ( G  gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5756rexlimdvva 2773 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5843, 57syl5bir 210 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5942, 58sylbid 207 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
6059ralrimivv 2733 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S ) )
611, 48issubg4 14881 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
6220, 61syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
633, 35, 60, 62mpbir3and 1137 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   class class class wbr 4146    X. cxp 4809   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   "cima 4814    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235   X_cixp 6992   Fincfn 7038   Basecbs 13389   0gc0g 13643    gsumg cgsu 13644   Grpcgrp 14605   -gcsg 14608  SubGrpcsubg 14858   DProd cdprd 15474
This theorem is referenced by:  dprdspan  15505  dprdz  15508  dprdcntz2  15516  dprddisj2  15517  dprd2da  15520  dmdprdsplit2lem  15523  dmdprdsplit2  15524  dprdsplit  15526  dpjf  15535  dpjidcl  15536  dpjlid  15539  dpjghm  15541  ablfac1c  15549  ablfac1eulem  15550  ablfac1eu  15551  pgpfaclem1  15559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-gim 14966  df-cntz 15036  df-oppg 15062  df-cmn 15334  df-dprd 15476
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