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Theorem dprdsubg 15572
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables  f 
g  h  i  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21dprdssv 15564 . . 3  |-  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G )
32a1i 11 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  C_  ( Base `  G ) )
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 eqid 2435 . . . 4  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin }
6 id 20 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G dom DProd  S )
7 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  dom  S  =  dom  S )
8 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
9 fnconstg 5623 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
108, 9mp1i 12 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S )
118fvconst2 5939 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  dom  S  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
1211adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  =  ( 0g
`  G ) )
13 dprdf 15554 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  S : dom  S --> (SubGrp `  G )
)
1413ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G ) )
154subg0cl 14942 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( S `  k ) )
1712, 16eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  dom  S )  ->  ( ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `  k
)  e.  ( S `
 k ) )
1817ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. k  e.  dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k ) )
19 0fin 7328 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
20 dprdgrp 15553 . . . . . . . . 9  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
211, 4grpidcl 14823 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( 0g
`  G )  e.  ( Base `  G
) )
23 fconst6g 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( dom  S  X.  { ( 0g
`  G ) } ) : dom  S --> ( Base `  G )
)
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) : dom  S --> ( Base `  G
) )
25 eldifi 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( dom  S  \  (/) )  ->  k  e. 
dom  S )
2625adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  ( dom  S 
\  (/) ) )  -> 
k  e.  dom  S
)
2726, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  k  e.  ( dom  S 
\  (/) ) )  -> 
( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) `
 k )  =  ( 0g `  G
) )
2824, 27suppss 5855 . . . . . 6  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( `' ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  (/) )
29 ssfi 7321 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  (/) )  -> 
( `' ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
3019, 28, 29sylancr 645 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( `' ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
315, 6, 7dprdw 15558 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  <->  ( ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } )  Fn  dom  S  /\  A. k  e. 
dom  S ( ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( `' ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin ) ) )
3210, 18, 30, 31mpbir3and 1137 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( dom 
S  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
334, 5, 6, 7, 32eldprdi 15566 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G 
gsumg  ( dom  S  X.  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  ( G DProd  S
) )
34 ne0i 3626 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  ( dom  S  X.  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  ( G DProd 
S )  ->  ( G DProd  S )  =/=  (/) )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  =/=  (/) )
36 eqid 2435 . . . . 5  |-  dom  S  =  dom  S
374, 5eldprd 15552 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
3837baibd 876 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G 
gsumg  f ) ) )
394, 5eldprd 15552 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  dom  S  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
4039baibd 876 . . . . . 6  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( y  e.  ( G DProd  S )  <->  E. g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G 
gsumg  g ) ) )
4138, 40anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( dom  S  =  dom  S  /\  G dom DProd  S )  ->  ( ( x  e.  ( G DProd  S
)  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <-> 
( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
4236, 41mpan 652 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) ) )
43 reeanv 2867 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  <->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) ) )
44 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  G dom DProd  S )
45 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  dom  S  =  dom  S )
46 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
47 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
48 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
494, 5, 44, 45, 46, 47, 48dprdfsub 15569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
( f  o F ( -g `  G
) g )  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  ( f  o F ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) ) )
5049simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  o F ( -g `  G
) g ) )  =  ( ( G 
gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
5149simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
f  o F (
-g `  G )
g )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } )
524, 5, 44, 45, 51eldprdi 15566 . . . . . . . 8  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  ( G  gsumg  ( f  o F ( -g `  G
) g ) )  e.  ( G DProd  S
) )
5350, 52eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) )  e.  ( G DProd  S ) )
54 oveq12 6082 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  =  ( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G ) ( G 
gsumg  g ) ) )
5554eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( (
x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S )  <-> 
( ( G  gsumg  f ) ( -g `  G
) ( G  gsumg  g ) )  e.  ( G DProd 
S ) ) )
5653, 55syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( G dom DProd  S  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  /\  g  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } ) )  ->  (
( x  =  ( G  gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5756rexlimdvva 2829 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin } E. g  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin }  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  /\  y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5843, 57syl5bir 210 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } x  =  ( G  gsumg  f )  /\  E. g  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  dom  S ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {
( 0g `  G
) } ) )  e.  Fin } y  =  ( G  gsumg  g ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
5942, 58sylbid 207 . . 3  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( x  e.  ( G DProd 
S )  /\  y  e.  ( G DProd  S ) )  ->  ( x
( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S ) ) )
6059ralrimivv 2789 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G
) y )  e.  ( G DProd  S ) )
611, 48issubg4 14951 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
6220, 61syl 16 . 2  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( ( G DProd  S )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( G DProd  S ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( G DProd  S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( G DProd  S ) A. y  e.  ( G DProd  S ) ( x ( -g `  G ) y )  e.  ( G DProd  S
) ) ) )
633, 35, 60, 62mpbir3and 1137 1  |-  ( G dom DProd  S  ->  ( G DProd 
S )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   X_cixp 7055   Fincfn 7101   Basecbs 13459   0gc0g 13713    gsumg cgsu 13714   Grpcgrp 14675   -gcsg 14678  SubGrpcsubg 14928   DProd cdprd 15544
This theorem is referenced by:  dprdspan  15575  dprdz  15578  dprdcntz2  15586  dprddisj2  15587  dprd2da  15590  dmdprdsplit2lem  15593  dmdprdsplit2  15594  dprdsplit  15596  dpjf  15605  dpjidcl  15606  dpjlid  15609  dpjghm  15611  ablfac1c  15619  ablfac1eulem  15620  ablfac1eu  15621  pgpfaclem1  15629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-gim 15036  df-cntz 15106  df-oppg 15132  df-cmn 15404  df-dprd 15546
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