Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdz Unicode version

Theorem dprdz 15281
 Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprd0.0
Assertion
Ref Expression
dprdz DProd DProd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dprdz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3 Cntz Cntz
2 dprd0.0 . . 3
3 eqid 2296 . . 3 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
4 simpl 443 . . 3
5 simpr 447 . . 3
620subg 14658 . . . . 5 SubGrp
76ad2antrr 706 . . . 4 SubGrp
8 eqid 2296 . . . 4
97, 8fmptd 5700 . . 3 SubGrp
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
1110, 2grpidcl 14526 . . . . . . . . . 10
1211adantr 451 . . . . . . . . 9
1312snssd 3776 . . . . . . . 8
1410, 1cntzsubg 14828 . . . . . . . 8 Cntz SubGrp
1513, 14syldan 456 . . . . . . 7 Cntz SubGrp
162subg0cl 14645 . . . . . . 7 Cntz SubGrp Cntz
1715, 16syl 15 . . . . . 6 Cntz
1817snssd 3776 . . . . 5 Cntz
1918adantr 451 . . . 4 Cntz
20 simpr1 961 . . . . 5
21 eqidd 2297 . . . . . 6
22 snex 4232 . . . . . 6
2321, 8, 22fvmpt3i 5621 . . . . 5
2420, 23syl 15 . . . 4
25 simpr2 962 . . . . . 6
26 eqidd 2297 . . . . . . 7
2726, 8, 22fvmpt3i 5621 . . . . . 6
2825, 27syl 15 . . . . 5
2928fveq2d 5545 . . . 4 Cntz Cntz
3019, 24, 293sstr4d 3234 . . 3 Cntz
3123adantl 452 . . . . . 6
3231ineq1d 3382 . . . . 5 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
3310subgacs 14668 . . . . . . . . . . 11 SubGrp ACS
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 SubGrp ACS
35 acsmre 13570 . . . . . . . . . 10 SubGrp ACS SubGrp Moore
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9 SubGrp Moore
37 imassrn 5041 . . . . . . . . . . 11
389adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
39 frn 5411 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
41 mresspw 13510 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp Moore SubGrp
4236, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
4340, 42sstrd 3202 . . . . . . . . . . 11
4437, 43syl5ss 3203 . . . . . . . . . 10
45 sspwuni 4003 . . . . . . . . . 10
4644, 45sylib 188 . . . . . . . . 9
473mrccl 13529 . . . . . . . . 9 SubGrp Moore mrClsSubGrp SubGrp
4836, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8 mrClsSubGrp SubGrp
492subg0cl 14645 . . . . . . . 8 mrClsSubGrp SubGrp mrClsSubGrp
5048, 49syl 15 . . . . . . 7 mrClsSubGrp
5150snssd 3776 . . . . . 6 mrClsSubGrp
52 df-ss 3179 . . . . . 6 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
5351, 52sylib 188 . . . . 5 mrClsSubGrp
5432, 53eqtrd 2328 . . . 4 mrClsSubGrp
55 eqimss 3243 . . . 4 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
5654, 55syl 15 . . 3 mrClsSubGrp
571, 2, 3, 4, 5, 9, 30, 56dmdprdd 15253 . 2 DProd
58 fdm 5409 . . . . 5 SubGrp
599, 58syl 15 . . . 4
606adantr 451 . . . 4 SubGrp
61 eqimss 3243 . . . . 5
6231, 61syl 15 . . . 4
6357, 59, 60, 62dprdlub 15277 . . 3 DProd
64 dprdsubg 15275 . . . . . 6 DProd DProd SubGrp
6557, 64syl 15 . . . . 5 DProd SubGrp
662subg0cl 14645 . . . . 5 DProd SubGrp DProd
6765, 66syl 15 . . . 4 DProd
6867snssd 3776 . . 3 DProd
6963, 68eqssd 3209 . 2 DProd
7057, 69jca 518 1 DProd DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   cdif 3162   cin 3164   wss 3165  cpw 3638  csn 3653  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  c0g 13416  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503  cgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   DProd cdprd 15247 This theorem is referenced by:  dprd0  15282 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-cmn 15107  df-dprd 15249
 Copyright terms: Public domain W3C validator