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Theorem dquart 20149
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate  S, which is the square root of a solution  M to the resolvent cubic equation, apply cubic 20145 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
dquart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
dquart.3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
dquart.j  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
dquart.j2  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquart  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 9956 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
13 binom2 11218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
142, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) ) )
15 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1615oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( X ^ 4 )
17 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
191, 18, 18expmuld 11248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ (
2  x.  2 ) )  =  ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) )
2016, 19syl5reqr 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  =  ( X ^ 4 ) )
214a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2221, 2, 12mul12d 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )
23 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2511, 21, 24divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  +  B
)  /  2 ) )  =  ( M  +  B ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( M  +  B ) ) )
272, 11mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( M  +  B )
)  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
2826, 27eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
299, 10, 2adddird 8860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3022, 28, 293eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3120, 30oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
32 4nn0 9984 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
33 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
341, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
359, 2mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3610, 2mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3734, 35, 36add12d 9033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3831, 37eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3938oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )
4034, 36addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4112sqcld 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
4235, 40, 41addassd 8857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
4314, 39, 423eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
449halfcld 9956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
4544, 1mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
47 4cn 9820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
49 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5049nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
5246, 48, 51divcld 9536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
5345, 52subcld 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
54 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
553, 54eqnetrrd 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
56 sqne0 11170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
577, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
5855, 57mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
59 mulne0b 9409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
604, 5, 59sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
6158, 60mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
6261simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
6353, 5, 21, 62, 24divcan5d 9562 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )
6421, 45, 52subdid 9235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) )  -  ( 2  x.  ( C  /  4
) ) ) )
6521, 44, 1mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) ) )
669, 21, 24divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  /  2 ) )  =  M )
6766oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( M  x.  X ) )
6865, 67eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  /  2
)  x.  X ) )  =  ( M  x.  X ) )
6921, 46, 48, 51divassd 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( 2  x.  ( C  / 
4 ) ) )
7015oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  C )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  C )  /  4
)
7146, 21, 21, 24, 24divcan5d 9562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( C  /  2 ) )
7270, 71syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( C  /  2 ) )
7369, 72eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  4 ) )  =  ( C  / 
2 ) )
7468, 73oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( M  / 
2 )  x.  X
) )  -  (
2  x.  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7564, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7675oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) )
7763, 76eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) )
7877oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) ^
2 ) )
799, 1mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  X
)  e.  CC )
8046halfcld 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  CC )
8179, 80subcld 9157 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  e.  CC )
8281, 7, 58sqdivd 11258 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
839sqcld 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
8483, 2mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
8579, 46mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  e.  CC )
8684, 85subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  e.  CC )
8746sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8887, 48, 51divcld 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
8986, 88, 9, 54divdird 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
90 binom2sub 11220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  X
)  e.  CC  /\  ( C  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^ 2 ) ) )
9179, 80, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  /  2
) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^
2 ) ) )
929, 1sqmuld 11257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
9321, 79, 80mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( 2  x.  ( C  /  2
) ) ) )
9446, 21, 24divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  2 ) )  =  C )
9594oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  (
2  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9693, 95eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9792, 96oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) ) )
9846, 21, 24sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
99 sq2 11199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
10099oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( C ^
2 )  /  4
)
10198, 100syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )
10297, 101oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) ) )
10391, 102eqtr2d 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  +  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 ) )
104103, 3oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
10584, 85, 9, 54divsubdird 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M )  -  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
) ) )
10683, 2, 9, 54div23d 9573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^
2 ) ) )
1079sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
108107oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  ( ( M  x.  M )  /  M ) )
1099, 9, 54divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  /  M
)  =  M )
110108, 109eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  M )
111110oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( X ^ 2 ) ) )
112106, 111eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( M  x.  ( X ^
2 ) ) )
1139, 1, 46mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( ( M  x.  C )  x.  X ) )
1149, 46, 1mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  C )  x.  X
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
115113, 114eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
116115oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( C  x.  X ) )  /  M ) )
11746, 1mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
118117, 9, 54divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( C  x.  X
) )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
119116, 118eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
120112, 119oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  /  M )  -  (
( ( M  x.  X )  x.  C
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
121105, 120eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
122121oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
12388, 9, 54divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  e.  CC )
12435, 117, 123subsubd 9185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
125122, 124eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12689, 104, 1253eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  /  (
( 2  x.  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12778, 82, 1263eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12843, 127oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )  -  (
( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) ) )
12940, 41addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
130117, 123subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  e.  CC )
13135, 129, 130pnncand 9196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
132123negcld 9144 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  e.  CC )
13340, 41, 117, 132add4d 9035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
134117, 123negsubd 9163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
135134oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
13641, 123negsubd 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
137 dquart.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
138 dquart.i2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
139 dquart.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
140 dquart.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
14110, 46, 1, 5, 3, 54, 137, 138, 139, 140dquartlem2 20148 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
142136, 141eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  D )
143142oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D ) )
14440, 117, 139addassd 8857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
145143, 144eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
146133, 135, 1453eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
147128, 131, 1463eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
1482, 12addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
14953, 5, 62divcld 9536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
150 subsq 11210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
151148, 149, 150syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
152147, 151eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
153152eqeq1d 2291 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )  =  0 ) )
154148, 149addcld 8854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
155148, 149subcld 9157 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
156154, 155mul0ord 9418 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  (
( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) ) )
15710, 46, 1, 5, 3, 54, 137, 138dquartlem1 20147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
1585negcld 9144 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
159 sqneg 11164 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  S ) ^
2 ) )
1607, 159syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  S ) ^
2 )  =  ( ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
1613, 160eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
162 mulneg2 9217 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
1634, 5, 162sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
164163oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  -u S ) ^ 2 )  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
165161, 164eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  -u S
) ^ 2 ) )
166 dquart.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
167 dquart.j2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
1685sqcld 11243 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
169168negcld 9144 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
17010halfcld 9956 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
171169, 170subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
17252, 5, 62divcld 9536 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
173171, 172negsubd 9163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )
174 sqneg 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  ( -u S ^ 2 )  =  ( S ^
2 ) )
1755, 174syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u S ^
2 )  =  ( S ^ 2 ) )
176175eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( -u S ^ 2 ) )
177176negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  =  -u ( -u S ^ 2 ) )
178177oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) )
17952, 5, 62divneg2d 9550 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( C  /  4 )  /  S )  =  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) )
180178, 179oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
181167, 173, 1803eqtr2d 2321 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
18210, 46, 1, 158, 165, 54, 166, 181dquartlem1 20147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u -u S  +  J
)  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) ) ) )
18353, 5, 62divneg2d 9550 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S )  =  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )
184183oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) ) )
185148, 149negsubd 9163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )
186184, 185eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )
187186eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
1885negnegd 9148 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u -u S  =  S )
189188oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  +  J )  =  ( S  +  J ) )
190189eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  +  J
)  <->  X  =  ( S  +  J )
) )
191188oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  -  J )  =  ( S  -  J ) )
192191eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  -  J
)  <->  X  =  ( S  -  J )
) )
193190, 192orbi12d 690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( -u -u S  +  J )  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) )  <->  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
194182, 187, 1933bitr3d 274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
195157, 194orbi12d 690 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0 )  <->  ( ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
196153, 156, 1953bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  quart  20157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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