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Theorem dquart 20165
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate  S, which is the square root of a solution  M to the resolvent cubic equation, apply cubic 20161 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
dquart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
dquart.3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
dquart.j  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
dquart.j2  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquart  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 11259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
13 binom2 11234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
142, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) ) )
15 2t2e4 9887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1615oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( X ^ 4 )
17 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
191, 18, 18expmuld 11264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ (
2  x.  2 ) )  =  ( ( X ^ 2 ) ^ 2 ) )
2016, 19syl5reqr 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 ) ^ 2 )  =  ( X ^ 4 ) )
214a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2221, 2, 12mul12d 9037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ) )
23 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2511, 21, 24divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  +  B
)  /  2 ) )  =  ( M  +  B ) )
2625oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( M  +  B ) ) )
272, 11mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  ( M  +  B )
)  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
2826, 27eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^
2 ) ) )
299, 10, 2adddird 8876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3022, 28, 293eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
3120, 30oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
32 4nn0 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
33 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 4 )  e.  CC )
341, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 4 )  e.  CC )
359, 2mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3610, 2mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
3734, 35, 36add12d 9049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3831, 37eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) ) )
3938oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )
4034, 36addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4112sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
4235, 40, 41addassd 8873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( X ^
4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
4314, 39, 423eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
449halfcld 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
4544, 1mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
47 4cn 9836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
49 4nn 9895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5049nnne0i 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
5246, 48, 51divcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
5345, 52subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
54 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
553, 54eqnetrrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
56 sqne0 11186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
577, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
5855, 57mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
59 mulne0b 9425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
604, 5, 59sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
6158, 60mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
6261simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
6353, 5, 21, 62, 24divcan5d 9578 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )
6421, 45, 52subdid 9251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) )  -  ( 2  x.  ( C  /  4
) ) ) )
6521, 44, 1mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( ( M  /  2 )  x.  X ) ) )
669, 21, 24divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( M  /  2 ) )  =  M )
6766oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( M  /  2
) )  x.  X
)  =  ( M  x.  X ) )
6865, 67eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  /  2
)  x.  X ) )  =  ( M  x.  X ) )
6921, 46, 48, 51divassd 9587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( 2  x.  ( C  / 
4 ) ) )
7015oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  C )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  C )  /  4
)
7146, 21, 21, 24, 24divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( C  /  2 ) )
7270, 71syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  /  4
)  =  ( C  /  2 ) )
7369, 72eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  4 ) )  =  ( C  / 
2 ) )
7468, 73oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( M  / 
2 )  x.  X
) )  -  (
2  x.  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7564, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) )
7675oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) ) )  /  ( 2  x.  S ) )  =  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) )
7763, 76eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) )
7877oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  /  ( 2  x.  S ) ) ^
2 ) )
799, 1mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  X
)  e.  CC )
8046halfcld 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  CC )
8179, 80subcld 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) )  e.  CC )
8281, 7, 58sqdivd 11274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) )  / 
( 2  x.  S
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
839sqcld 11259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
8483, 2mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
8579, 46mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  e.  CC )
8684, 85subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  e.  CC )
8746sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8887, 48, 51divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  4
)  e.  CC )
8986, 88, 9, 54divdird 9590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( M  x.  X
)  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
90 binom2sub 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  X
)  e.  CC  /\  ( C  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^ 2 ) ) )
9179, 80, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  /  2
) ) ) )  +  ( ( C  /  2 ) ^
2 ) ) )
929, 1sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
9321, 79, 80mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( 2  x.  ( C  /  2
) ) ) )
9446, 21, 24divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  /  2 ) )  =  C )
9594oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  (
2  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9693, 95eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )
9792, 96oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( M  x.  X )  x.  ( C  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) ) )
9846, 21, 24sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
99 sq2 11215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
10099oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( C ^
2 )  /  4
)
10198, 100syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )
10297, 101oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( M  x.  X
)  x.  ( C  /  2 ) ) ) )  +  ( ( C  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) ) )
10391, 102eqtr2d 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  +  ( ( C ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( ( ( M  x.  X
)  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 ) )
104103, 3oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  +  ( ( C ^
2 )  /  4
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  /  2 ) ) ^ 2 )  / 
( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) ) )
10584, 85, 9, 54divsubdird 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( ( ( M ^
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M )  -  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
) ) )
10683, 2, 9, 54div23d 9589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^
2 ) ) )
1079sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
108107oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  ( ( M  x.  M )  /  M ) )
1099, 9, 54divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  /  M
)  =  M )
110108, 109eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  M
)  =  M )
111110oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  /  M )  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( X ^ 2 ) ) )
112106, 111eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  /  M
)  =  ( M  x.  ( X ^
2 ) ) )
1139, 1, 46mul32d 9038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( ( M  x.  C )  x.  X ) )
1149, 46, 1mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  C )  x.  X
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
115113, 114eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  X )  x.  C
)  =  ( M  x.  ( C  x.  X ) ) )
116115oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( C  x.  X ) )  /  M ) )
11746, 1mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
118117, 9, 54divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( C  x.  X
) )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
119116, 118eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  X )  x.  C )  /  M
)  =  ( C  x.  X ) )
120112, 119oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  /  M )  -  (
( ( M  x.  X )  x.  C
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
121105, 120eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C
) )  /  M
)  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) ) )
122121oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
12388, 9, 54divcld 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
)  e.  CC )
12435, 117, 123subsubd 9201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) )
125122, 124eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( M  x.  X )  x.  C ) )  /  M )  +  ( ( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12689, 104, 1253eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  x.  X )  -  ( C  / 
2 ) ) ^
2 )  /  (
( 2  x.  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12778, 82, 1263eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 )  =  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
12843, 127oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) ) )  -  (
( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) ) )
12940, 41addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
130117, 123subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  e.  CC )
13135, 129, 130pnncand 9212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( M  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
132123negcld 9160 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M )  e.  CC )
13340, 41, 117, 132add4d 9051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) ) ) )
134117, 123negsubd 9179 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
135134oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) ) ) )
13641, 123negsubd 9179 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )
137 dquart.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
138 dquart.i2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
139 dquart.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
140 dquart.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  B )  x.  ( M ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  D ) )  x.  M )  +  -u ( C ^
2 ) ) )  =  0 )
14110, 46, 1, 5, 3, 54, 137, 138, 139, 140dquartlem2 20164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( C ^
2 )  /  4
)  /  M ) )  =  D )
142136, 141eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 ) ^
2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  / 
4 )  /  M
) )  =  D )
143142oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D ) )
14440, 117, 139addassd 8873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  D )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
145143, 144eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( C  x.  X ) )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 )  +  -u ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
146133, 135, 1453eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2
) ^ 2 ) )  +  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( C ^ 2 )  /  4 )  /  M ) ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) ) )
147128, 131, 1463eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
1482, 12addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
14953, 5, 62divcld 9552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
150 subsq 11226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
151148, 149, 150syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) ) )
152147, 151eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  =  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
153152eqeq1d 2304 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )  =  0 ) )
154148, 149addcld 8870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
155148, 149subcld 9173 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
156154, 155mul0ord 9434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  (
( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) ) )
15710, 46, 1, 5, 3, 54, 137, 138dquartlem1 20163 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
1585negcld 9160 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
159 sqneg 11180 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  S ) ^
2 ) )
1607, 159syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  S ) ^
2 )  =  ( ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
1613, 160eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
162 mulneg2 9233 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
1634, 5, 162sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  -u S
)  =  -u (
2  x.  S ) )
164163oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  -u S ) ^ 2 )  =  ( -u ( 2  x.  S
) ^ 2 ) )
165161, 164eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  -u S
) ^ 2 ) )
166 dquart.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
167 dquart.j2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
1685sqcld 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
169168negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
17010halfcld 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
171169, 170subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
17252, 5, 62divcld 9552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
173171, 172negsubd 9179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )
174 sqneg 11180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  ( -u S ^ 2 )  =  ( S ^
2 ) )
1755, 174syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u S ^
2 )  =  ( S ^ 2 ) )
176175eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( -u S ^ 2 ) )
177176negeqd 9062 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  =  -u ( -u S ^ 2 ) )
178177oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) )
17952, 5, 62divneg2d 9566 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( C  /  4 )  /  S )  =  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) )
180178, 179oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  -u ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  =  ( ( -u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
181167, 173, 1803eqtr2d 2334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J ^ 2 )  =  ( (
-u ( -u S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  -u S
) ) )
18210, 46, 1, 158, 165, 54, 166, 181dquartlem1 20163 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u -u S  +  J
)  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) ) ) )
18353, 5, 62divneg2d 9566 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S )  =  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )
184183oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) ) )
185148, 149negsubd 9179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  -u ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  ( ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )
186184, 185eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  -u S ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) ) )
187186eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  -u S
) )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  -  (
( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
1885negnegd 9164 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u -u S  =  S )
189188oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  +  J )  =  ( S  +  J ) )
190189eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  +  J
)  <->  X  =  ( S  +  J )
) )
191188oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u -u S  -  J )  =  ( S  -  J ) )
192191eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  =  (
-u -u S  -  J
)  <->  X  =  ( S  -  J )
) )
193190, 192orbi12d 690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( -u -u S  +  J )  \/  X  =  ( -u -u S  -  J ) )  <->  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
194182, 187, 1933bitr3d 274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) )
195157, 194orbi12d 690 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0  \/  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  -  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  =  0 )  <->  ( ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
196153, 156, 1953bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 4 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) )  \/  ( X  =  ( S  +  J )  \/  X  =  ( S  -  J ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  quart  20173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
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