MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem1 Structured version   Unicode version

Theorem dquartlem1 20693
Description: Lemma for dquart 20695. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
dquart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dquart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dquart.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
dquart.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
dquart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
dquart.i  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
dquart.i2  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
dquartlem1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21sqcld 11523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
3 dquart.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 ) )
4 2cn 10072 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6 mulcl 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  e.  CC )
87sqcld 11523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 dquart.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 9109 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  B
)  e.  CC )
1211halfcld 10214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  e.  CC )
132, 12addcld 9109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( ( M  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
149halfcld 10214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
1514, 1mulcld 9110 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
16 dquart.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
17 4cn 10076 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
19 4nn 10137 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
2019nnne0i 10036 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
2216, 18, 21divcld 9792 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  4
)  e.  CC )
2315, 22subcld 9413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  e.  CC )
24 dquart.m0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
253, 24eqnetrrd 2623 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0 )
26 sqne0 11450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  S )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =/=  0  <->  (
2  x.  S )  =/=  0 ) )
277, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
2825, 27mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =/=  0 )
29 mulne0b 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
304, 5, 29sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0 )  <->  ( 2  x.  S )  =/=  0 ) )
3128, 30mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  S  =/=  0
) )
3231simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
3323, 5, 32divcld 9792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  e.  CC )
3413, 33addcld 9109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
354a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
36 2ne0 10085 . . . . 5  |-  2  =/=  0
3736a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
3834, 35, 37diveq0ad 9802 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  / 
2 )  =  0  <-> 
( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  0 ) )
392, 12, 33addassd 9112 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2
) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) ) )
4039oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) ) )  /  2 ) )
4112, 33addcld 9109 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  e.  CC )
422, 41, 35, 37divdird 9830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( X ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
) ) )
432, 35, 37divrec2d 9796 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) ) )
4415, 22, 5, 32divsubdird 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( ( M  / 
2 )  x.  X
)  /  S )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
4514, 1, 5, 32div23d 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S
)  =  ( ( ( M  /  2
)  /  S )  x.  X ) )
465sqvald 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  =  ( S  x.  S ) )
4746oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( S  x.  S
) ) )
48 sqmul 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
494, 5, 48sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
504sqvali 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
5150oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( S ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^ 2 ) )
5249, 51syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^
2 ) ) )
535sqcld 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
5435, 35, 53mulassd 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) ) )
553, 52, 543eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) ) )
5655oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^
2 ) ) )  /  2 ) )
57 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( S ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  CC )
584, 53, 57sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  CC )
5958, 35, 37divcan3d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) )  /  2 )  =  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) ) )
6056, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( 2  x.  ( S ^
2 ) ) )
6135, 5, 5mulassd 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  S
)  =  ( 2  x.  ( S  x.  S ) ) )
6247, 60, 613eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  S ) )
6362oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  /  S
)  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  S )  /  S ) )
647, 5, 32divcan4d 9798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  S )  /  S
)  =  ( 2  x.  S ) )
6563, 64eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  /  S
)  =  ( 2  x.  S ) )
6665oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  /  S )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  X ) )
6745, 66eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S
)  =  ( ( 2  x.  S )  x.  X ) )
6867oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  /  S )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
6944, 68eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
)  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
7069oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
717, 1mulcld 9110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  e.  CC )
7222, 5, 32divcld 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
7312, 71, 72addsub12d 9436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  S
)  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  /  2 )  -  ( ( C  / 
4 )  /  S
) ) ) )
7470, 73eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  =  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
7574oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  +  ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )  /  2 ) )
7612, 72subcld 9413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
7771, 76, 35, 37divdird 9830 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  +  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  /  2 )  +  ( ( ( ( M  +  B
)  /  2 )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) )  / 
2 ) ) )
7835, 5, 1mulassd 9113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  x.  X
)  =  ( 2  x.  ( S  x.  X ) ) )
7978oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( S  x.  X ) )  /  2 ) )
805, 1mulcld 9110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  x.  X
)  e.  CC )
8180, 35, 37divcan3d 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( S  x.  X
) )  /  2
)  =  ( S  x.  X ) )
8279, 81eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  /  2
)  =  ( S  x.  X ) )
8353negcld 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
8410halfcld 10214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  CC )
8583, 84subcld 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  e.  CC )
8653, 85, 72subsub4d 9444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) )  +  ( ( C  /  4
)  /  S ) ) ) )
879, 10, 35, 37divdird 9830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( M  /  2 )  +  ( B  / 
2 ) ) )
88532timesd 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( S ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) ) )
8960, 88eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^
2 ) ) )
9089oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( B  /  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  / 
2 ) ) )
9187, 90eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  / 
2 ) ) )
9253, 53, 84addassd 9112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( S ^ 2 ) )  +  ( B  /  2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) ) ) )
9353, 84addcld 9109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  ( B  /  2 ) )  e.  CC )
9453, 93subnegd 9420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  -u (
( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) ) ) )
9553, 84negdi2d 9427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2
) )  =  (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) ) )
9695oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  -u (
( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9794, 96eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  ( ( S ^ 2 )  +  ( B  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9891, 92, 973eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  +  B )  /  2
)  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  /  2
) ) ) )
9998oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  / 
2 ) ) )  -  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
100 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( (
-u ( S ^
2 )  -  ( B  /  2 ) )  +  ( ( C  /  4 )  /  S ) ) )
101100oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( B  / 
2 ) )  +  ( ( C  / 
4 )  /  S
) ) ) )
10286, 99, 1013eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
103102oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  -  ( ( C  / 
4 )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) )
10482, 103oveq12d 6101 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  S )  x.  X )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  -  (
( C  /  4
)  /  S ) )  /  2 ) )  =  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) )
10575, 77, 1043eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  +  B )  /  2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) )
10643, 105oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  +  B )  / 
2 )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4 ) )  /  S ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) ) )
10740, 42, 1063eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  /  2
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2
) ) ) )
108107eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2
)  x.  X )  -  ( C  / 
4 ) )  /  S ) )  / 
2 )  =  0  <-> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X
)  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0 ) )
10938, 108bitr3d 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( S  x.  X
)  +  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0 ) )
110 ax-1cn 9050 . . . 4  |-  1  e.  CC
111 halfcl 10195 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
112110, 111mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
113 ax-1ne0 9061 . . . . 5  |-  1  =/=  0
114110, 4, 113, 36divne0i 9764 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
115114a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
116 dquart.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
117116sqcld 11523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  e.  CC )
11853, 117subcld 9413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  e.  CC )
119118halfcld 10214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2
)  e.  CC )
120110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
1214, 36pm3.2i 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
122121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
123 divmuldiv 9716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) ) )  /  (
2  x.  2 ) ) )
124120, 118, 122, 122, 123syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
125118mulid2d 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
126 2t2e4 10129 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
127126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  2 )  =  4 )
128125, 127oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) ) )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  4 ) )
129124, 128eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  4 ) )
130129oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
4 ) ) )
131118, 18, 21divcan2d 9794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  4 ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
132130, 131eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) ) )
133132oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
4  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^
2 ) )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( ( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) ) )
13453, 117nncand 9418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  -  (
( S ^ 2 )  -  ( I ^ 2 ) ) )  =  ( I ^ 2 ) )
135133, 134eqtr2d 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) ) ) )
136112, 115, 5, 119, 1, 116, 135quad2 20681 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( S  x.  X )  +  ( ( ( S ^
2 )  -  (
I ^ 2 ) )  /  2 ) ) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  \/  X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) ) ) ) )
1374, 36recidi 9747 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
138137oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( (
-u S  +  I
)  /  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u S  +  I )  /  1 )
1395negcld 9400 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
140139, 116addcld 9109 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u S  +  I )  e.  CC )
141140div1d 9784 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  +  I )  /  1
)  =  ( -u S  +  I )
)
142138, 141syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( -u S  +  I )
)
143142eqeq2d 2449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  <->  X  =  ( -u S  +  I ) ) )
144137oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( (
-u S  -  I
)  /  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u S  -  I )  /  1 )
145139, 116subcld 9413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u S  -  I )  e.  CC )
146145div1d 9784 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  -  I )  /  1
)  =  ( -u S  -  I )
)
147144, 146syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( -u S  -  I )
)
148147eqeq2d 2449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  <->  X  =  ( -u S  -  I ) ) )
149143, 148orbi12d 692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  ( ( -u S  +  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  \/  X  =  ( ( -u S  -  I )  /  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )  <->  ( X  =  ( -u S  +  I )  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
150109, 136, 1493bitrd 272 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 2 )  +  ( ( M  +  B )  / 
2 ) )  +  ( ( ( ( M  /  2 )  x.  X )  -  ( C  /  4
) )  /  S
) )  =  0  <-> 
( X  =  (
-u S  +  I
)  \/  X  =  ( -u S  -  I ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   2c2 10051   4c4 10053   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  dquart  20695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator