MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid Unicode version

Theorem drngid 15625
Description: A division ring's unit is the identity element of its multiplicative group. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
drngid.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
drngid.g  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
drngid  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  G ) )

Proof of Theorem drngid
StepHypRef Expression
1 drngrng 15618 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2358 . . . 4  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3 eqid 2358 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)
4 drngid.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
52, 3, 4unitgrpid 15550 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
) ) )
61, 5syl 15 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
) ) )
7 drngid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 drngid.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 2, 8isdrng 15615 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
109simprbi 450 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (Unit `  R
)  =  ( B 
\  {  .0.  }
) )
1110oveq2d 5961 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
12 drngid.g . . . 4  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )
1311, 12syl6eqr 2408 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R )
)  =  G )
1413fveq2d 5612 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  (Unit `  R ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
156, 14eqtrd 2390 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  .1.  =  ( 0g `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    \ cdif 3225   {csn 3716   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   ↾s cress 13246   0gc0g 13499  mulGrpcmgp 15424   Ringcrg 15436   1rcur 15438  Unitcui 15520   DivRingcdr 15611
This theorem is referenced by:  drngid2  15627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-drng 15613
  Copyright terms: Public domain W3C validator