MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drnginvrcl Structured version   Unicode version

Theorem drnginvrcl 15854
Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring. (reccl 9687 analog.) (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
invrcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
invrcl.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
drnginvrcl  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  X )  e.  B )

Proof of Theorem drnginvrcl
StepHypRef Expression
1 invrcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3 invrcl.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
41, 2, 3drngunit 15842 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( X  e.  (Unit `  R )  <->  ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  ) ) )
5 drngrng 15844 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
6 invrcl.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invr `  R
)
72, 6, 1rnginvcl 15783 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( I `  X )  e.  B
)
87ex 425 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( X  e.  (Unit `  R
)  ->  ( I `  X )  e.  B
) )
95, 8syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( X  e.  (Unit `  R )  ->  ( I `  X
)  e.  B ) )
104, 9sylbird 228 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  ->  (
I `  X )  e.  B ) )
11103impib 1152 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  X )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5456   Basecbs 13471   0gc0g 13725   Ringcrg 15662  Unitcui 15746   invrcinvr 15778   DivRingcdr 15837
This theorem is referenced by:  drngmul0or  15858  abvrec  15926  abvdiv  15927  lvecvs0or  16182  lssvs0or  16184  lvecinv  16187  lspsnvs  16188  lspfixed  16202  lspexch  16203  lspsolv  16217  drngnidl  16302  sdrgacs  27488  cntzsdrg  27489  lfl1  29870  eqlkr3  29901  lkrlsp  29902  tendoinvcl  31904  dochkr1  32278  dochkr1OLDN  32279  lcfl7lem  32299  lclkrlem2m  32319  lclkrlem2o  32321  lclkrlem2p  32322  lcfrlem1  32342  lcfrlem2  32343  lcfrlem3  32344  lcfrlem29  32371  lcfrlem31  32373  lcfrlem33  32375  mapdpglem17N  32488  mapdpglem18  32489  mapdpglem19  32490  mapdpglem21  32492  mapdpglem22  32493  hdmapip1  32719  hgmapvvlem1  32726  hgmapvvlem2  32727  hgmapvvlem3  32728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839
  Copyright terms: Public domain W3C validator