MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drnginvrn0 Structured version   Unicode version

Theorem drnginvrn0 15845
Description: The multiplicative inverse in a division ring is nonzero. (recne0 9683 analog.) (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
invrcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
invrcl.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
drnginvrn0  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  X )  =/=  .0.  )

Proof of Theorem drnginvrn0
StepHypRef Expression
1 drngrng 15834 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3 invrcl.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
42, 3unitinvcl 15771 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( I `  X )  e.  (Unit `  R ) )
54ex 424 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( X  e.  (Unit `  R
)  ->  ( I `  X )  e.  (Unit `  R ) ) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( X  e.  (Unit `  R )  ->  ( I `  X
)  e.  (Unit `  R ) ) )
7 invrcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 invrcl.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 2, 8drngunit 15832 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( X  e.  (Unit `  R )  <->  ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  ) ) )
107, 2, 8drngunit 15832 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( I `
 X )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( I `  X
)  e.  B  /\  ( I `  X
)  =/=  .0.  )
) )
116, 9, 103imtr3d 259 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  ->  (
( I `  X
)  e.  B  /\  ( I `  X
)  =/=  .0.  )
) )
12113impib 1151 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
( I `  X
)  e.  B  /\  ( I `  X
)  =/=  .0.  )
)
1312simprd 450 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  X )  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ` cfv 5446   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Ringcrg 15652  Unitcui 15736   invrcinvr 15768   DivRingcdr 15827
This theorem is referenced by:  lspfixed  16192  tendoinvcl  31839  dochkr1  32213  lcfrlem31  32308  mapdpglem18  32424  mapdpglem22  32428  hgmapvvlem2  32662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829
  Copyright terms: Public domain W3C validator