MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmcl Unicode version

Theorem drngmcl 15775
Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngmcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngmcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
drngmcl  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem drngmcl
StepHypRef Expression
1 drngmcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 drngmcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 eqid 2387 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )
41, 2, 3drngmgp 15774 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e.  Grp )
5 difss 3417 . . . 4  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
6 eqid 2387 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
76, 1mgpbas 15581 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
83, 7ressbas2 13447 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  ->  ( B  \  {  .0.  } )  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
95, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
10 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
111, 10eqeltri 2457 . . . 4  |-  B  e. 
_V
12 difexg 4292 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  {  .0.  }
)  e.  _V )
13 drngmcl.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
146, 13mgpplusg 15579 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
153, 14ressplusg 13498 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) ) )
1611, 12, 15mp2b 10 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
179, 16grpcl 14745 . 2  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e. 
Grp  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
184, 17syl3an1 1217 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   {csn 3757   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   +g cplusg 13456   .rcmulr 13457   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612  mulGrpcmgp 15575   DivRingcdr 15762
This theorem is referenced by:  abvtriv  15856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764
  Copyright terms: Public domain W3C validator