MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmcl Unicode version

Theorem drngmcl 15541
Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngmcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngmcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
drngmcl  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem drngmcl
StepHypRef Expression
1 drngmcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 drngmcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )
41, 2, 3drngmgp 15540 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e.  Grp )
5 difss 3316 . . . 4  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
76, 1mgpbas 15347 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
83, 7ressbas2 13215 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  ->  ( B  \  {  .0.  } )  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
95, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
10 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
111, 10eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
12 difexg 4178 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  {  .0.  }
)  e.  _V )
13 drngmcl.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
146, 13mgpplusg 15345 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
153, 14ressplusg 13266 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) ) )
1611, 12, 15mp2b 9 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
179, 16grpcl 14511 . 2  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e. 
Grp  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
184, 17syl3an1 1215 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  mulGrpcmgp 15341   DivRingcdr 15528
This theorem is referenced by:  abvtriv  15622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530
  Copyright terms: Public domain W3C validator