MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmcl Structured version   Unicode version

Theorem drngmcl 15840
Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngmcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngmcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
drngmcl  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem drngmcl
StepHypRef Expression
1 drngmcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 drngmcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )
41, 2, 3drngmgp 15839 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e.  Grp )
5 difss 3466 . . . 4  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
6 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
76, 1mgpbas 15646 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
83, 7ressbas2 13512 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  ->  ( B  \  {  .0.  } )  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
95, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
10 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
111, 10eqeltri 2505 . . . 4  |-  B  e. 
_V
12 difexg 4343 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  {  .0.  }
)  e.  _V )
13 drngmcl.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
146, 13mgpplusg 15644 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
153, 14ressplusg 13563 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) ) )
1611, 12, 15mp2b 10 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
179, 16grpcl 14810 . 2  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e. 
Grp  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
184, 17syl3an1 1217 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677  mulGrpcmgp 15640   DivRingcdr 15827
This theorem is referenced by:  abvtriv  15921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829
  Copyright terms: Public domain W3C validator