MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmuleq0 Structured version   Unicode version

Theorem drngmuleq0 15858
Description: An element is zero iff its product with a nonzero element is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmuleq0.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngmuleq0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
drngmuleq0.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngmuleq0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
drngmuleq0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
drngmuleq0.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
drngmuleq0.e  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
drngmuleq0  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0.  <->  X  =  .0.  ) )

Proof of Theorem drngmuleq0
StepHypRef Expression
1 drngmuleq0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 drngmuleq0.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 drngmuleq0.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 drngmuleq0.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
5 drngmuleq0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 drngmuleq0.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6drngmul0or 15856 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0.  <->  ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  )
) )
8 drngmuleq0.e . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
9 df-ne 2601 . . . 4  |-  ( Y  =/=  .0.  <->  -.  Y  =  .0.  )
10 orel2 373 . . . . 5  |-  ( -.  Y  =  .0.  ->  ( ( X  =  .0. 
\/  Y  =  .0.  )  ->  X  =  .0.  ) )
11 orc 375 . . . . 5  |-  ( X  =  .0.  ->  ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  )
)
1210, 11impbid1 195 . . . 4  |-  ( -.  Y  =  .0.  ->  ( ( X  =  .0. 
\/  Y  =  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
139, 12sylbi 188 . . 3  |-  ( Y  =/=  .0.  ->  (
( X  =  .0. 
\/  Y  =  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
148, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  =  .0.  \/  Y  =  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
157, 14bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0.  <->  X  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   .rcmulr 13530   0gc0g 13723   DivRingcdr 15835
This theorem is referenced by:  lkrsc  29895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837
  Copyright terms: Public domain W3C validator