Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngpropd Structured version   Unicode version

Theorem drngpropd 15863
 Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1
drngpropd.2
drngpropd.3
drngpropd.4
Assertion
Ref Expression
drngpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem drngpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . . . . 7
2 drngpropd.2 . . . . . . 7
3 drngpropd.4 . . . . . . 7
41, 2, 3unitpropd 15803 . . . . . 6 Unit Unit
54adantr 453 . . . . 5 Unit Unit
61, 2eqtr3d 2471 . . . . . . 7
76adantr 453 . . . . . 6
81adantr 453 . . . . . . . 8
92adantr 453 . . . . . . . 8
10 drngpropd.3 . . . . . . . . 9
1110adantlr 697 . . . . . . . 8
128, 9, 11grpidpropd 14723 . . . . . . 7
1312sneqd 3828 . . . . . 6
147, 13difeq12d 3467 . . . . 5
155, 14eqeq12d 2451 . . . 4 Unit Unit
1615pm5.32da 624 . . 3 Unit Unit
171, 2, 10, 3rngpropd 15696 . . . 4
1817anbi1d 687 . . 3 Unit Unit
1916, 18bitrd 246 . 2 Unit Unit
20 eqid 2437 . . 3
21 eqid 2437 . . 3 Unit Unit
22 eqid 2437 . . 3
2320, 21, 22isdrng 15840 . 2 Unit
24 eqid 2437 . . 3
25 eqid 2437 . . 3 Unit Unit
26 eqid 2437 . . 3
2724, 25, 26isdrng 15840 . 2 Unit
2819, 23, 273bitr4g 281 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cdif 3318  csn 3815  cfv 5455  (class class class)co 6082  cbs 13470   cplusg 13530  cmulr 13531  c0g 13724  crg 15661  Unitcui 15745  cdr 15836 This theorem is referenced by:  fldpropd  15864  lvecprop2d  16239  hlhildrng  32754 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-drng 15838
 Copyright terms: Public domain W3C validator