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Theorem drsdirfi 14072
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the non-emptiness constraint in df-drs 14063 first comes into play; without it we would need an additional constraint that  X not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
drsdirfi  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B  /\  X  e.  Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y )
Distinct variable groups:    y, K, z    y, B, z    y,  .<_ , z    y, X, z

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
21anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B )
) )
3 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
43rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
52, 4imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) ) )
6 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  B  <->  b  C_  B ) )
76anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B
) ) )
8 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
98rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
107, 9imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y ) ) )
11 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  B 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  B ) )
1211anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B
)  <->  ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B ) ) )
13 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
1413rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
1512, 14imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a  z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) ) )
16 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  X  ->  (
a  C_  B  <->  X  C_  B
) )
1716anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( a  =  X  ->  (
( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  <->  ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B
) ) )
18 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  X  ->  ( A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
1918rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( a  =  X  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
2017, 19imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  X  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  a  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  a 
z  .<_  y )  <->  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) ) )
21 drsbn0.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2221drsbn0 14071 . . . . . 6  |-  ( K  e. Dirset  ->  B  =/=  (/) )
23 ral0 3558 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  (/)  z  .<_  y
2423jctr 526 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2524eximi 1563 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  B  ->  E. y ( y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
26 n0 3464 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
27 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2825, 26, 273imtr4i 257 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
2922, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( K  e. Dirset  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
3029adantr 451 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (/)  C_  B
)  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
31 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
32 sstr 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  -> 
b  C_  B )
3331, 32mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  b  C_  B )
3433anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B
) )
35 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  z  .<_  a ) )
3635ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  ( A. z  e.  b 
z  .<_  y  <->  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )
3736cbvrexv 2765 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y  <->  E. a  e.  B  A. z  e.  b 
z  .<_  a )
38 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  K  e. Dirset )
39 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  a  e.  B )
40 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
41 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  ->  { c }  C_  B )
4240, 41mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  { c }  C_  B )
43 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
4443snss 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  B  <->  { c }  C_  B )
4542, 44sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  B  ->  c  e.  B )
4645ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  c  e.  B )
47 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( le `  K )
4821, 47drsdir 14069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  a  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) )
4938, 39, 46, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) )
50 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  b  z  .<_  a )
51 drsprs 14070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
5251ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  K  e.  Preset  )
5352ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  K  e.  Preset  )
5433ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  ->  b  C_  B )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  b  C_  B )
5655sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  ->  z  e.  B )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  e.  B )
58 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  a  e.  B )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  a  e.  B )
60 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  y  e.  B )
6160ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  y  e.  B )
62 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  .<_  a )
63 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  a  .<_  y )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  a  .<_  y )
6521, 47prstr 14067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  (
z  e.  B  /\  a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  .<_  a  /\  a  .<_  y ) )  ->  z  .<_  y )
6653, 57, 59, 61, 62, 64, 65syl132anc 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  /\  z  .<_  a )  ->  z  .<_  y )
6766ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  /\  z  e.  b )  ->  (
z  .<_  a  ->  z  .<_  y ) )
6867ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  a  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
6968adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y ) )
7050, 69mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  b  z  .<_  y )
71 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  c  .<_  y )
72 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  c  ->  (
z  .<_  y  <->  c  .<_  y ) )
7343, 72ralsn 3674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  { c } z  .<_  y  <->  c  .<_  y )
7471, 73sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  { c } z 
.<_  y )
75 ralun 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  b  z  .<_  y  /\  A. z  e.  { c } z  .<_  y )  ->  A. z  e.  ( b  u.  { c } ) z  .<_  y )
7670, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y ) ) )  ->  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y )
7776expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  /\  (
a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z 
.<_  a ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y )  ->  A. z  e.  ( b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
7877reximdva 2655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  ( E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  c  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
7949, 78mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  ( a  e.  B  /\  A. z  e.  b  z  .<_  a ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y )
8079expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  /\  a  e.  B )  ->  ( A. z  e.  b 
z  .<_  a  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
8180rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( E. a  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  a  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
8237, 81syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
8334, 82embantd 50 . . . . . 6  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  (
b  u.  { c } )  C_  B
)  ->  ( (
( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) )
8483com12 27 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b  z  .<_  y )  ->  ( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  { c } )  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (
b  u.  { c } ) z  .<_  y ) )
8584a1i 10 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( K  e. Dirset  /\  b  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  b 
z  .<_  y )  -> 
( ( K  e. Dirset  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  ( b  u.  {
c } ) z 
.<_  y ) ) )
865, 10, 15, 20, 30, 85findcard2 7098 . . 3  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
8786com12 27 . 2  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B )  ->  ( X  e.  Fin  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y ) )
88873impia 1148 1  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  X  C_  B  /\  X  e.  Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  X  z  .<_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Fincfn 6863   Basecbs 13148   lecple 13215    Preset cpreset 14060  Dirsetcdrs 14061
This theorem is referenced by:  isdrs2  14073  ipodrsfi  14266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-preset 14062  df-drs 14063
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