Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dsmmlmod Structured version   Unicode version

Theorem dsmmlmod 27188
Description: The direct sum of a family of modules is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmlss.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
dsmmlss.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
dsmmlss.r  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
dsmmlss.k  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  x
) )  =  S )
dsmmlmod.c  |-  C  =  ( S  (+)m  R )
Assertion
Ref Expression
dsmmlmod  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, R    x, I
Allowed substitution hints:    C( x)    W( x)

Proof of Theorem dsmmlmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( S
X_s
R )  =  ( S X_s R )
2 dsmmlss.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
3 dsmmlss.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4 dsmmlss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
5 dsmmlss.k . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  x
) )  =  S )
61, 2, 3, 4, 5prdslmodd 16045 . 2  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  e.  LMod )
7 eqid 2436 . . 3  |-  ( LSubSp `  ( S X_s R ) )  =  ( LSubSp `  ( S X_s R ) )
8 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
93, 2, 4, 5, 1, 7, 8dsmmlss 27187 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  e.  ( LSubSp `  ( S X_s R ) ) )
10 dsmmlmod.c . . . 4  |-  C  =  ( S  (+)m  R )
118dsmmval2 27179 . . . 4  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
1210, 11eqtri 2456 . . 3  |-  C  =  ( ( S X_s R
)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
1312, 7lsslmod 16036 . 2  |-  ( ( ( S X_s R )  e.  LMod  /\  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )  e.  ( LSubSp `  ( S X_s R ) ) )  ->  C  e.  LMod )
146, 9, 13syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470  Scalarcsca 13532   X_scprds 13669   Ringcrg 15660   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008    (+)m cdsmm 27174
This theorem is referenced by:  frlmlmod  27194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-dsmm 27175
  Copyright terms: Public domain W3C validator