Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dsmmlss Unicode version

Theorem dsmmlss 27313
 Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmlss.i
dsmmlss.s
dsmmlss.r
dsmmlss.k Scalar
dsmmlss.p s
dsmmlss.u
dsmmlss.h m
Assertion
Ref Expression
dsmmlss
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dsmmlss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmlss.p . . 3 s
2 dsmmlss.h . . 3 m
3 dsmmlss.i . . 3
4 dsmmlss.s . . 3
5 dsmmlss.r . . . 4
6 lmodgrp 15650 . . . . 5
76ssriv 3197 . . . 4
8 fss 5413 . . . 4
95, 7, 8sylancl 643 . . 3
101, 2, 3, 4, 9dsmmsubg 27312 . 2 SubGrp
11 dsmmlss.k . . . . . . 7 Scalar
121, 4, 3, 5, 11prdslmodd 15742 . . . . . 6
1312adantr 451 . . . . 5 Scalar
14 simprl 732 . . . . 5 Scalar Scalar
15 simprr 733 . . . . . . 7 Scalar
16 eqid 2296 . . . . . . . . 9 m m
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9
18 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
195, 18syl 15 . . . . . . . . 9
201, 16, 17, 2, 3, 19dsmmelbas 27308 . . . . . . . 8
2120adantr 451 . . . . . . 7 Scalar
2215, 21mpbid 201 . . . . . 6 Scalar
2322simpld 445 . . . . 5 Scalar
24 eqid 2296 . . . . . 6 Scalar Scalar
25 eqid 2296 . . . . . 6
26 eqid 2296 . . . . . 6 Scalar Scalar
2717, 24, 25, 26lmodvscl 15660 . . . . 5 Scalar
2813, 14, 23, 27syl3anc 1182 . . . 4 Scalar
2922simprd 449 . . . . 5 Scalar
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
314ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 Scalar
323ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3319ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 Scalar
34 fex 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
355, 3, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
361, 4, 35prdssca 13372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
3837eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
3938biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4039adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4140adantr 451 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4223adantr 451 . . . . . . . . . . 11 Scalar
43 simpr 447 . . . . . . . . . . 11 Scalar
441, 17, 25, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43prdsvscafval 13395 . . . . . . . . . 10 Scalar
4544adantrr 697 . . . . . . . . 9 Scalar
46 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
475, 46sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
4847adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
49 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
5036adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
5111, 50eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
5251fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
5352adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
5449, 53eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
56 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
58 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
5955, 56, 57, 58lmodvs0 15680 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
6048, 54, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 Scalar
61 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
6261eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
6360, 62syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10 Scalar
6463impr 602 . . . . . . . . 9 Scalar
6545, 64eqtrd 2328 . . . . . . . 8 Scalar
6665expr 598 . . . . . . 7 Scalar
6766necon3d 2497 . . . . . 6 Scalar
6867ss2rabdv 3267 . . . . 5 Scalar
69 ssfi 7099 . . . . 5
7029, 68, 69syl2anc 642 . . . 4 Scalar
711, 16, 17, 2, 3, 19dsmmelbas 27308 . . . . 5
7271adantr 451 . . . 4 Scalar
7328, 70, 72mpbir2and 888 . . 3 Scalar
7473ralrimivva 2648 . 2 Scalar
75 dsmmlss.u . . . 4
7624, 26, 17, 25, 75islss4 15735 . . 3 SubGrp Scalar
7712, 76syl 15 . 2 SubGrp Scalar
7810, 74, 77mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   wss 3165   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cbs 13164  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  scprds 13362  c0g 13416  cgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  crg 15353  clmod 15643  clss 15705   m cdsmm 27300 This theorem is referenced by:  dsmmlmod  27314  frlmlss  27322 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-dsmm 27301
 Copyright terms: Public domain W3C validator