Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dsmmval2 Structured version   Unicode version

Theorem dsmmval2 27170
Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval2.b  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
Assertion
Ref Expression
dsmmval2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )

Proof of Theorem dsmmval2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3420 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )
3 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
42, 3ressbas2 13512 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
51, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
65oveq2i 6084 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }
87dsmmval 27168 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
98fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R
) )  =  (
Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
109oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) ) )
116, 8, 103eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
12 ress0 13515 . . . . 5  |-  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  (/)
1312eqcomi 2439 . . . 4  |-  (/)  =  (
(/)s 
( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
14 reldmdsmm 27167 . . . . 5  |-  Rel  dom  (+)m
1514ovprc2 6102 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  (/) )
16 reldmprds 13664 . . . . . 6  |-  Rel  dom  X_s
1716ovprc2 6102 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
1817oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
1913, 15, 183eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
2011, 19pm2.61i 158 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
21 dsmmval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
2221oveq2i 6084 . 2  |-  ( ( S X_s R )s  B )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
2320, 22eqtr4i 2458 1  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   X_scprds 13661   0gc0g 13715    (+)m cdsmm 27165
This theorem is referenced by:  dsmmfi  27172  dsmmlmod  27179  frlmpws  27186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-dsmm 27166
  Copyright terms: Public domain W3C validator