Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dsmmval2 Unicode version

Theorem dsmmval2 27305
Description: Self-referential definition of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval2.b  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
Assertion
Ref Expression
dsmmval2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )

Proof of Theorem dsmmval2
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( S X_s R ) )  =  ( Base `  ( S X_s R ) )
42, 3ressbas2 13215 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  C_  ( Base `  ( S X_s R ) )  ->  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
51, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  ( Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
65oveq2i 5885 . . . 4  |-  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Base `  ( S X_s R ) )  |  { x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }  =  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin }
87dsmmval 27303 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) )
98fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  ( S  (+)m  R
) )  =  (
Base `  ( ( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) )
109oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( ( S
X_s
R )s  ( Base `  (
( S X_s R )s  { f  e.  (
Base `  ( S X_s R ) )  |  {
x  e.  dom  R  |  ( f `  x )  =/=  ( 0g `  ( R `  x ) ) }  e.  Fin } ) ) ) )
116, 8, 103eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
12 ress0 13218 . . . . 5  |-  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  (/)
1312eqcomi 2300 . . . 4  |-  (/)  =  (
(/)s 
( Base `  ( S  (+)m 
R ) ) )
14 reldmdsmm 27302 . . . . 5  |-  Rel  dom  (+)m
1514ovprc2 5903 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  (/) )
16 reldmprds 13365 . . . . . 6  |-  Rel  dom  X_s
1716ovprc2 5903 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S X_s R )  =  (/) )
1817oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )  =  ( (/)s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
1913, 15, 183eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( S  (+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) ) )
2011, 19pm2.61i 156 . 2  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
21 dsmmval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( S  (+)m  R ) )
2221oveq2i 5885 . 2  |-  ( ( S X_s R )s  B )  =  ( ( S X_s R )s  ( Base `  ( S  (+)m  R ) ) )
2320, 22eqtr4i 2319 1  |-  ( S 
(+)m  R )  =  ( ( S X_s R )s  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   X_scprds 13362   0gc0g 13416    (+)m cdsmm 27300
This theorem is referenced by:  dsmmfi  27307  dsmmlmod  27314  frlmpws  27321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-dsmm 27301
  Copyright terms: Public domain W3C validator