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Theorem dstr 25171
Description: Distribution of union over intersection. Bourbaki E.II.35 prop. 8. (Contributed by FL, 18-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dstr.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  C  =  D )
dstr.2  |-  X  = 
X_ x  e.  A  B
dstr.3  |-  A  e.  E
Assertion
Ref Expression
dstr  |-  U_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f, y    C, f    y, D    x, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x)    C( x, y)    D( x, f)    E( x, y, f)    X( x, y, f)

Proof of Theorem dstr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elixp2b 25154 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
2 dstr.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  C  =  D )
32eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
z  e.  C  <->  z  e.  D ) )
43rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  z  e.  C  ->  z  e.  D ) )
54ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  z  e.  C  ->  z  e.  D ) )
6 rexim 2647 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  z  e.  C  ->  z  e.  D )  -> 
( E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  E. x  e.  A  z  e.  D )
)
71, 5, 63syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  E. x  e.  A  z  e.  D )
)
8 dstr.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
X_ x  e.  A  B
97, 8eleq2s 2375 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  E. x  e.  A  z  e.  D ) )
109com12 27 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  ( f  e.  X  ->  E. x  e.  A  z  e.  D ) )
1110ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  A. f  e.  X  E. x  e.  A  z  e.  D )
12 vex 2791 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
13 eliin 3910 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  z  e.  C ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  z  e.  C )
1514rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C )
16 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  D  <->  E. x  e.  A  z  e.  D )
1716ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  X  z  e.  U_ x  e.  A  D 
<-> 
A. f  e.  X  E. x  e.  A  z  e.  D )
1811, 15, 173imtr4i 257 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  |^|_ y  e.  B  C  ->  A. f  e.  X  z  e.  U_ x  e.  A  D )
19 eliun 3909 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C 
<->  E. x  e.  A  z  e.  |^|_ y  e.  B  C )
20 eliin 3910 . . . . 5  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D  <->  A. f  e.  X  z  e.  U_ x  e.  A  D
) )
2112, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  ( z  e.  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D  <->  A. f  e.  X  z  e.  U_ x  e.  A  D )
2218, 19, 213imtr4i 257 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  ->  z  e.  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D )
23 rabn0 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  B  -.  z  e.  C
)
2423biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  B  -.  z  e.  C  ->  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/) )
2524ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  z  e.  C  ->  A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/) )
26 n0 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C } )
27 ss2ixp 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  C_  B  ->  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  C_  X_ x  e.  A  B )
28 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  C_  B
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  C_  B )
3027, 29mprg 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  C_  X_ x  e.  A  B
3130sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  f  e.  X_ x  e.  A  B
)
3231, 8syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  f  e.  X
)
33 elixp2b 25154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }
)
343notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( -.  z  e.  C  <->  -.  z  e.  D ) )
3534elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  x )  e.  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  <->  ( (
f `  x )  e.  B  /\  -.  z  e.  D ) )
3635simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  e.  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  -.  z  e.  D )
3736ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  A. x  e.  A  -.  z  e.  D
)
3833, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  A. x  e.  A  -.  z  e.  D
)
3932, 38jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  ( f  e.  X  /\  A. x  e.  A  -.  z  e.  D ) )
4039eximi 1563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  f  e.  X_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  ->  E. f ( f  e.  X  /\  A. x  e.  A  -.  z  e.  D )
)
4126, 40sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( X_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/)  ->  E. f
( f  e.  X  /\  A. x  e.  A  -.  z  e.  D
) )
42 dstr.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  E
4342elexi 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
4443ac9s 8120 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  A  { y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/) )
45 df-rex 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  X  A. x  e.  A  -.  z  e.  D  <->  E. f
( f  e.  X  /\  A. x  e.  A  -.  z  e.  D
) )
4641, 44, 453imtr4i 257 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  -.  z  e.  C }  =/=  (/)  ->  E. f  e.  X  A. x  e.  A  -.  z  e.  D )
4725, 46syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  z  e.  C  ->  E. f  e.  X  A. x  e.  A  -.  z  e.  D )
48 rexnal 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  -.  z  e.  C  <->  -.  A. y  e.  B  z  e.  C )
4948ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  z  e.  C  <->  A. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  z  e.  C )
50 ralnex 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  -.  z  e.  D  <->  -.  E. x  e.  A  z  e.  D )
5150rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  X  A. x  e.  A  -.  z  e.  D  <->  E. f  e.  X  -.  E. x  e.  A  z  e.  D )
5247, 49, 513imtr3i 256 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  E. f  e.  X  -.  E. x  e.  A  z  e.  D )
53 ralnex 2553 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  z  e.  C  <->  -.  E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C )
54 rexnal 2554 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  X  -.  E. x  e.  A  z  e.  D  <->  -.  A. f  e.  X  E. x  e.  A  z  e.  D )
5552, 53, 543imtr3i 256 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C  ->  -. 
A. f  e.  X  E. x  e.  A  z  e.  D )
5655con4i 122 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  X  E. x  e.  A  z  e.  D  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  z  e.  C )
5756, 17, 153imtr4i 257 . . . 4  |-  ( A. f  e.  X  z  e.  U_ x  e.  A  D  ->  E. x  e.  A  z  e.  |^|_ y  e.  B  C )
5857, 21, 193imtr4i 257 . . 3  |-  ( z  e.  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D  ->  z  e.  U_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C )
5922, 58impbii 180 . 2  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C 
<->  z  e.  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D )
6059eqriv 2280 1  |-  U_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ f  e.  X  U_ x  e.  A  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   |^|_ciin 3906   ` cfv 5255   X_cixp 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-ixp 6818  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743
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