Theorem dtopcl 10615

Description: The open sets of a discrete topology are closed and its closed sets are open.

Hypothesis

Ref	Expression
dtopcl.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
dtopcl	|- P~A = (Clsd` P~A)

Proof of Theorem dtopcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtopcl.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	distop 7649	. . 3 |- P~A e. Top
3		eqid 1475	. . . . 5 |- U.P~A = U.P~A
4	3	iscld 7669	. . . 4 |- (P~A e. Top -> (x e. (Clsd` P~A) <-> (x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A)))
5		unipw 2756	. . . . . . . . 9 |- U.P~A = A
6	5	sseq2i 2086	. . . . . . . 8 |- (x (_ U.P~A <-> x (_ A)
7	6	biimp 151	. . . . . . 7 |- (x (_ U.P~A -> x (_ A)
8		visset 1813	. . . . . . . 8 |- x e. V
9	8	elpw 2404	. . . . . . 7 |- (x e. P~A <-> x (_ A)
10	7, 9	sylibr 200	. . . . . 6 |- (x (_ U.P~A -> x e. P~A)
11	10	adantr 389	. . . . 5 |- ((x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A) -> x e. P~A)
12		elssuni 2526	. . . . . 6 |- (x e. P~A -> x (_ U.P~A)
13		difss 2167	. . . . . . . 8 |- (U.P~A \ x) (_ U.P~A
14	13, 5	sseqtr 2093	. . . . . . 7 |- (U.P~A \ x) (_ A
15	5, 1	eqeltr 1544	. . . . . . . . 9 |- U.P~A e. V
16		difexg 2722	. . . . . . . . 9 |- (U.P~A e. V -> (U.P~A \ x) e. V)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (U.P~A \ x) e. V
18	17	elpw 2404	. . . . . . 7 |- ((U.P~A \ x) e. P~A <-> (U.P~A \ x) (_ A)
19	14, 18	mpbir 190	. . . . . 6 |- (U.P~A \ x) e. P~A
20	12, 19	jctir 293	. . . . 5 |- (x e. P~A -> (x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A))
21	11, 20	impbi 157	. . . 4 |- ((x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A) <-> x e. P~A)
22	4, 21	syl6rbb 537	. . 3 |- (P~A e. Top -> (x e. P~A <-> x e. (Clsd` P~A)))
23	2, 22	ax-mp 7	. 2 |- (x e. P~A <-> x e. (Clsd` P~A))
24	23	eqriv 1474	1 |- P~A = (Clsd` P~A)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   \ cdif 2044   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  Clsdccld 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-top 7592  df-cld 7663

Copyright terms: Public domain