Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dualalg Unicode version

Theorem dualalg 25782
 Description: The dual of a is a . (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dualcat2.1
dualcat2.2
dualcat2.3
dualcat2.4
Assertion
Ref Expression
dualalg tpos

Proof of Theorem dualalg
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5
2 dualcat2.1 . . . . 5
3 eqid 2283 . . . . 5
4 dualcat2.3 . . . . 5
5 dualcat2.2 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5coda 25729 . . . 4
72, 5dcsda 25733 . . . . 5
87feq2d 5380 . . . 4
96, 8mpbid 201 . . 3
101, 2, 3, 4doma 25728 . . . 4
117feq2d 5380 . . . 4
1210, 11mpbid 201 . . 3
131, 2, 3, 4ida 25730 . . . 4
14 feq3 5377 . . . . 5
157, 14syl 15 . . . 4
1613, 15mpbid 201 . . 3
179, 12, 163jca 1132 . 2
18 dualcat2.4 . . . . . 6
191, 2, 18cmppfa 25732 . . . . 5
2019simp1d 967 . . . 4
21 tposfun 6250 . . . 4 tpos
2220, 21syl 15 . . 3 tpos
2319simp2d 968 . . . . 5
24 cnvss 4854 . . . . 5
2523, 24syl 15 . . . 4
26 relxp 4794 . . . . . 6
27 relss 4775 . . . . . 6
2823, 26, 27ee10 1366 . . . . 5
29 dmtpos 6246 . . . . 5 tpos
3028, 29syl 15 . . . 4 tpos
31 cnvxp 5097 . . . . 5
327, 7xpeq12d 4714 . . . . 5
3331, 32syl5req 2328 . . . 4
3425, 30, 333sstr4d 3221 . . 3 tpos
35 rntpos 6247 . . . . 5 tpos
3628, 35syl 15 . . . 4 tpos
3719simp3d 969 . . . . 5
3837, 7sseqtrd 3214 . . . 4
3936, 38eqsstrd 3212 . . 3 tpos
4022, 34, 393jca 1132 . 2 tpos tpos tpos
41 fvex 5539 . . . . . 6
425, 41eqeltri 2353 . . . . 5
43 fvex 5539 . . . . . 6
442, 43eqeltri 2353 . . . . 5
45 fvex 5539 . . . . . 6
464, 45eqeltri 2353 . . . . 5
4742, 44, 463pm3.2i 1130 . . . 4
48 fvex 5539 . . . . . 6
4918, 48eqeltri 2353 . . . . 5
5049tposex 6268 . . . 4 tpos
5147, 50pm3.2i 441 . . 3 tpos
52 eqid 2283 . . . 4
5352, 3isalg 25721 . . 3 tpos tpos tpos tpos tpos
5451, 53mp1i 11 . 2 tpos tpos tpos tpos
5517, 40, 54mpbir2and 888 1 tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   wss 3152  cop 3643   cxp 4687  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690   wrel 4694   wfun 5249  wf 5251  cfv 5255  tpos ctpos 6233   calg 25711  cdom_ 25712  ccod_ 25713  cid_ 25714  co_ 25715 This theorem is referenced by:  dualded  25783 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720
 Copyright terms: Public domain W3C validator