Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dualcat2 Unicode version

Theorem dualcat2 25784
 Description: The dual of a category is a category. Joy of cats 3.5 (Contributed by FL, 4-Apr-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dualcat2.1
dualcat2.2
dualcat2.3
dualcat2.4
Assertion
Ref Expression
dualcat2 tpos

Proof of Theorem dualcat2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catded 25764 . . . 4
2 dualcat2.1 . . . . 5
3 dualcat2.2 . . . . 5
4 dualcat2.3 . . . . 5
5 dualcat2.4 . . . . 5
62, 3, 4, 5dualded 25783 . . . 4 tpos
71, 6syl 15 . . 3 tpos
8 3anrev 945 . . . . . . 7
9 dedalg 25743 . . . . . . . . . 10
102, 3dcsda 25733 . . . . . . . . . 10
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9
1211eleq2d 2350 . . . . . . . 8
1311eleq2d 2350 . . . . . . . 8
1411eleq2d 2350 . . . . . . . 8
1512, 13, 143anbi123d 1252 . . . . . . 7
168, 15syl5bb 248 . . . . . 6
1716biimpar 471 . . . . 5
18 eqid 2283 . . . . . . . 8
1918, 2, 3, 5cmpasso 25773 . . . . . . 7
20 eqcom 2285 . . . . . . . 8
21 eqcom 2285 . . . . . . . 8
2220, 21anbi12i 678 . . . . . . 7
23 ovtpos 6249 . . . . . . . . . 10 tpos
2423oveq1i 5868 . . . . . . . . 9 tpos tpos tpos
25 ovtpos 6249 . . . . . . . . 9 tpos
2624, 25eqtri 2303 . . . . . . . 8 tpos tpos
27 ovtpos 6249 . . . . . . . . . 10 tpos
2827oveq2i 5869 . . . . . . . . 9 tpos tpos tpos
29 ovtpos 6249 . . . . . . . . 9 tpos
3028, 29eqtri 2303 . . . . . . . 8 tpos tpos
3126, 30eqeq12i 2296 . . . . . . 7 tpos tpos tpos tpos
3219, 22, 313imtr4g 261 . . . . . 6 tpos tpos tpos tpos
33 ancom 437 . . . . . 6
34 eqcom 2285 . . . . . 6 tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos
3532, 33, 343imtr4g 261 . . . . 5 tpos tpos tpos tpos
3617, 35syldan 456 . . . 4 tpos tpos tpos tpos
3736ralrimivvva 2636 . . 3 tpos tpos tpos tpos
387, 37jca 518 . 2 tpos tpos tpos tpos tpos
3912anbi2d 684 . . . . 5
40 eqid 2283 . . . . . . . 8
4118, 2, 40, 4, 5cmpidb 25775 . . . . . . 7
42 ovtpos 6249 . . . . . . . 8 tpos
4342eqeq1i 2290 . . . . . . 7 tpos
4441, 43syl6ibr 218 . . . . . 6 tpos
45443expib 1154 . . . . 5 tpos
4639, 45sylbird 226 . . . 4 tpos
4746ralrimivv 2634 . . 3 tpos
4818, 2, 40, 4, 5, 3cmpida 25774 . . . . . . 7
49 ovtpos 6249 . . . . . . . 8 tpos
5049eqeq1i 2290 . . . . . . 7 tpos
5148, 50syl6ibr 218 . . . . . 6 tpos
52513expib 1154 . . . . 5 tpos
5339, 52sylbird 226 . . . 4 tpos
5453ralrimivv 2634 . . 3 tpos
5547, 54jca 518 . 2 tpos tpos
56 fvex 5539 . . . 4
573, 56eqeltri 2353 . . 3
58 fvex 5539 . . . 4
592, 58eqeltri 2353 . . 3
60 fvex 5539 . . . 4
614, 60eqeltri 2353 . . 3
62 fvex 5539 . . . . . 6
635, 62eqeltri 2353 . . . . 5
6463tposex 6268 . . . 4 tpos
65 eqid 2283 . . . . 5
6665, 40iscatOLD 25754 . . . 4 tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos
6764, 66mpan2 652 . . 3 tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos
6857, 59, 61, 67mp3an 1277 . 2 tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos tpos
6938, 55, 68sylanbrc 645 1 tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  cop 3643   cdm 4689  cfv 5255  (class class class)co 5858  tpos ctpos 6233   calg 25711  cdom_ 25712  ccod_ 25713  cid_ 25714  co_ 25715  cded 25734   ccatOLD 25752 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753
 Copyright terms: Public domain W3C validator