Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dualded Unicode version

Theorem dualded 25783
 Description: The dual of a deductive system is a deductive system. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dualcat2.1
dualcat2.2
dualcat2.3
dualcat2.4
Assertion
Ref Expression
dualded tpos

Proof of Theorem dualded
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedalg 25743 . . . 4
2 dualcat2.1 . . . . 5
3 dualcat2.2 . . . . 5
4 dualcat2.3 . . . . 5
5 dualcat2.4 . . . . 5
62, 3, 4, 5dualalg 25782 . . . 4 tpos
71, 6syl 15 . . 3 tpos
8 eqid 2283 . . . . . 6
98, 2, 4, 3idosd 25744 . . . . 5
109ancomd 438 . . . 4
1110ralrimiva 2626 . . 3
12 ancom 437 . . . . . 6
132, 3dcsda 25733 . . . . . . . . 9
141, 13syl 15 . . . . . . . 8
1514eleq2d 2350 . . . . . . 7
1614eleq2d 2350 . . . . . . 7
1715, 16anbi12d 691 . . . . . 6
1812, 17syl5rbb 249 . . . . 5
19 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14
2019, 2, 5cmppfa 25732 . . . . . . . . . . . . 13
211, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12
2221simp2d 968 . . . . . . . . . . 11
23 relxp 4794 . . . . . . . . . . 11
24 relss 4775 . . . . . . . . . . 11
2522, 23, 24ee10 1366 . . . . . . . . . 10
26 dmtpos 6246 . . . . . . . . . 10 tpos
2725, 26syl 15 . . . . . . . . 9 tpos
28273ad2ant1 976 . . . . . . . 8 tpos
2928eleq2d 2350 . . . . . . 7 tpos
3019, 2, 3, 5cmppfd 25745 . . . . . . . 8
31 vex 2791 . . . . . . . . 9
32 vex 2791 . . . . . . . . 9
3331, 32opelcnv 4863 . . . . . . . 8
34 eqcom 2285 . . . . . . . 8
3530, 33, 343bitr4g 279 . . . . . . 7
3629, 35bitrd 244 . . . . . 6 tpos
37363expib 1154 . . . . 5 tpos
3818, 37sylbid 206 . . . 4 tpos
3938ralrimivv 2634 . . 3 tpos
407, 11, 393jca 1132 . 2 tpos tpos
4119, 2, 3, 5codcmpd 25747 . . . . . . 7
42 ovtpos 6249 . . . . . . . . 9 tpos
4342fveq2i 5528 . . . . . . . 8 tpos
4443eqeq1i 2290 . . . . . . 7 tpos
4541, 34, 443imtr4g 261 . . . . . 6 tpos
46453expib 1154 . . . . 5 tpos
4718, 46sylbid 206 . . . 4 tpos
4847ralrimivv 2634 . . 3 tpos
4919, 2, 3, 5domcmpd 25746 . . . . . . 7
5042fveq2i 5528 . . . . . . . 8 tpos
5150eqeq1i 2290 . . . . . . 7 tpos
5249, 34, 513imtr4g 261 . . . . . 6 tpos
53523expib 1154 . . . . 5 tpos
5418, 53sylbid 206 . . . 4 tpos
5554ralrimivv 2634 . . 3 tpos
5648, 55jca 518 . 2 tpos tpos
57 fvex 5539 . . . 4
583, 57eqeltri 2353 . . 3
59 fvex 5539 . . . 4
602, 59eqeltri 2353 . . 3
61 fvex 5539 . . . 4
624, 61eqeltri 2353 . . 3
63 fvex 5539 . . . . . 6
645, 63eqeltri 2353 . . . . 5
6564tposex 6268 . . . 4 tpos
66 eqid 2283 . . . . 5
6766, 8isded 25736 . . . 4 tpos tpos tpos tpos tpos tpos
6865, 67mpan2 652 . . 3 tpos tpos tpos tpos tpos
6958, 60, 62, 68mp3an 1277 . 2 tpos tpos tpos tpos tpos
7040, 56, 69sylanbrc 645 1 tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   wss 3152  cop 3643   cxp 4687  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690   wrel 4694   wfun 5249  cfv 5255  (class class class)co 5858  tpos ctpos 6233   calg 25711  cdom_ 25712  ccod_ 25713  cid_ 25714  co_ 25715  cded 25734 This theorem is referenced by:  dualcat2  25784 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735
 Copyright terms: Public domain W3C validator