MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvadd Structured version   Unicode version

Theorem dvadd 19831
Description: The sum rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvadd.df  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
dvadd.dg  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
Assertion
Ref Expression
dvadd  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) `  C )  =  ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  +  ( ( S  _D  G ) `
 C ) ) )

Proof of Theorem dvadd
StepHypRef Expression
1 dvadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19798 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) --> CC )
3 ffun 5596 . . 3  |-  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) --> CC  ->  Fun  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) )
41, 2, 33syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) )
5 dvadd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
6 dvadd.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
7 dvadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
8 dvadd.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
9 recnprss 19796 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
11 fvex 5745 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) `
 C )  e. 
_V
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  _V )
13 fvex 5745 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G ) `
 C )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) `  C
)  e.  _V )
15 dvadd.df . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
16 dvfg 19798 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
17 ffun 5596 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
18 funfvbrb 5846 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
191, 16, 17, 184syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
2015, 19mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
21 dvadd.dg . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
22 dvfg 19798 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
23 ffun 5596 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
24 funfvbrb 5846 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  G )  <->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G
) `  C )
) )
251, 22, 23, 244syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  G
)  <->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G ) `
 C ) ) )
2621, 25mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G ) `
 C ) )
27 eqid 2438 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
285, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 20, 26, 27dvaddbr 19829 . 2  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  +  ( ( S  _D  G ) `
 C ) ) )
29 funbrfv 5768 . 2  |-  ( Fun  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) )  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  +  ( ( S  _D  G ) `
 C ) )  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) `  C )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  +  ( ( S  _D  G ) `  C
) ) ) )
304, 28, 29sylc 59 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) `  C )  =  ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  +  ( ( S  _D  G ) `
 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   Fun wfun 5451   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   CCcc 8993   RRcr 8994    + caddc 8998   TopOpenctopn 13654  ℂfldccnfld 16708    _D cdv 19755
This theorem is referenced by:  dvaddf  19833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-limc 19758  df-dv 19759
  Copyright terms: Public domain W3C validator