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Theorem dvaddbr 19691
Description: The sum rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvadd.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvadd.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvaddbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( K  +  L ) )

Proof of Theorem dvaddbr
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
2 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvadd.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
109simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.bg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
12 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
1611, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1716simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y
) )
18 elin 3473 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
1910, 17, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
203cnfldtopon 18688 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
21 resttopon 17147 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2220, 5, 21sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
23 topontop 16914 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
25 toponuni 16915 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
2622, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
277, 26sseqtrd 3327 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
2814, 26sseqtrd 3327 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. ( Jt  S ) )
29 eqid 2387 . . . . 5  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
3029ntrin 17048 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  Y  C_ 
U. ( Jt  S ) )  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3124, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3219, 31eleqtrrd 2464 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
33 inss1 3504 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
34 ssdif 3425 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
3533, 34mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
3635sselda 3291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X 
\  { C }
) )
377, 5sstrd 3301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
3829ntrss2 17044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
3924, 27, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
4039, 10sseldd 3292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
416, 37, 40dvlem 19650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
4236, 41syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
43 inss2 3505 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
44 ssdif 3425 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
4543, 44mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
4645sselda 3291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( Y 
\  { C }
) )
4714, 5sstrd 3301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
4829ntrss2 17044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  C_  Y
)
4924, 28, 48syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  C_  Y
)
5049, 17sseldd 3292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5113, 47, 50dvlem 19650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
5246, 51syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
53 ssid 3310 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5453a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
55 txtopon 17544 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5620, 20, 55mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5756toponunii 16920 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5857restid 13588 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
6059eqcomi 2391 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
619simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
6241, 4fmptd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> CC )
6337ssdifssd 3428 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  \  { C } )  C_  CC )
64 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
6533, 7syl5ss 3302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  S )
6665, 26sseqtrd 3327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  U. ( Jt  S ) )
67 difssd 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  X ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
6866, 67unssd 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
69 ssun1 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X ) ) )
7129ntrss 17042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
7224, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
7372, 32sseldd 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
74 elin 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  /\  C  e.  X )
)
7573, 40, 74sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
7633a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  X )
77 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( ( Jt  S )t  X )
7829, 77restntr 17168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  X )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
7924, 27, 76, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
803cnfldtop 18689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  e. 
Top
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
82 cnex 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
83 ssexg 4290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
845, 82, 83sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
85 restabs 17151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
8681, 7, 84, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
8786fveq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  X ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
8887fveq1d 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
8979, 88eqtr3d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
9075, 89eleqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
91 undif1 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( X  u.  { C } )
9240snssd 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  X )
93 ssequn2 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  X  <->  ( X  u.  { C } )  =  X )
9492, 93sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  u.  { C } )  =  X )
9591, 94syl5eq 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  X )
9695oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  X ) )
9796fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
98 undif1 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( ( X  i^i  Y
)  u.  { C } )
99 elin 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( C  e.  X  /\  C  e.  Y ) )
10040, 50, 99sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
101100snssd 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { C }  C_  ( X  i^i  Y ) )
102 ssequn2 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { C }  C_  ( X  i^i  Y )  <->  ( ( X  i^i  Y )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
103101, 102sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  { C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
10498, 103syl5eq 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
10597, 104fveq12d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
10690, 105eleqtrrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
10762, 35, 63, 3, 64, 106limcres 19640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
108 resmpt 5131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
10935, 108syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
110109oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
111107, 110eqtr3d 2421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
11261, 111eleqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
11316simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
11451, 12fmptd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( Y  \  { C } ) --> CC )
11547ssdifssd 3428 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { C } )  C_  CC )
116 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
117 difssd 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
11866, 117unssd 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
119 ssun1 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) ) )
12129ntrss 17042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
12224, 118, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
123122, 32sseldd 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
124 elin 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  /\  C  e.  Y )
)
125123, 50, 124sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
12643a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  Y )
127 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( ( Jt  S )t  Y )
12829, 127restntr 17168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  Y )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
12924, 28, 126, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
130 restabs 17151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
13181, 14, 84, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
132131fveq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
133132fveq1d 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
134129, 133eqtr3d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
135125, 134eleqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
136 undif1 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( Y  u.  { C } )
13750snssd 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  Y )
138 ssequn2 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  Y  <->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
139137, 138sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
140136, 139syl5eq 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  Y )
141140oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
142141fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
143142, 104fveq12d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
144135, 143eleqtrrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
145114, 45, 115, 3, 116, 144limcres 19640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
146 resmpt 5131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
14745, 146syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
148147oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
149145, 148eqtr3d 2421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
150113, 149eleqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1513addcn 18766 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1525, 6, 7dvcl 19653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1531, 152mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1545, 13, 14dvcl 19653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
15511, 154mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
156 opelxpi 4850 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
157153, 155, 156syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
15857cncnpi 17264 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
159151, 157, 158sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
16042, 52, 54, 54, 3, 60, 112, 150, 159limccnp2 19646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
161 eldifi 3412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
162161adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
163 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> CC  ->  F  Fn  X )
1646, 163syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
165164adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F  Fn  X )
166 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> CC  ->  G  Fn  Y )
16713, 166syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  Y )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G  Fn  Y )
169 ssexg 4290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
17037, 82, 169sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  e.  _V )
172 ssexg 4290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
17347, 82, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
174173adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  Y  e.  _V )
175 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( X  i^i  Y
)
176 eqidd 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
177 eqidd 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
178165, 168, 171, 174, 175, 176, 177ofval 6253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
179162, 178mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
180100adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
181 eqidd 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  =  ( F `
 C ) )
182 eqidd 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  =  ( G `
 C ) )
183165, 168, 171, 174, 175, 181, 182ofval 6253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
184180, 183mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
185179, 184oveq12d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  +  ( G `  C
) ) ) )
186 difss 3417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  ( X  i^i  Y )
187186, 33sstri 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  X
188187sseli 3287 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  X )
189 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
1906, 188, 189syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
191186, 43sstri 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  Y
192191sseli 3287 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
193 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> CC  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
19413, 192, 193syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
1956, 40ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
196195adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
19713, 50ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
198197adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
199190, 194, 196, 198addsub4d 9390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  +  ( G `  z
) )  -  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
200185, 199eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
201200oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
202190, 196subcld 9343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
203194, 198subcld 9343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
204187, 37syl5ss 3302 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  CC )
205204sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
20637, 40sseldd 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
207206adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
208205, 207subcld 9343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
209 eldifsni 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
210209adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
211205, 207, 210subne0d 9352 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
212202, 203, 208, 211divdird 9760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
213201, 212eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
214213mpteq2dva 4236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) )
215214oveq1d 6035 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
216160, 215eleqtrrd 2464 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
217 eqid 2387 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
218 addcl 9005 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
219218adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
220219, 6, 13, 170, 173, 175off 6259 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : ( X  i^i  Y
) --> CC )
2212, 3, 217, 5, 220, 65eldv 19652 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) ( K  +  L )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  /\  ( K  +  L )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
22232, 216, 221mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( K  +  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    u. cun 3261    i^i cin 3262    C_ wss 3263   {csn 3757   <.cop 3760   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816    |` cres 4820    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242   CCcc 8921    + caddc 8926    - cmin 9223    / cdiv 9609   ↾t crest 13575   TopOpenctopn 13576  ℂfldccnfld 16626   Topctop 16881  TopOnctopon 16882   intcnt 17004    Cn ccn 17210    CnP ccnp 17211    tX ctx 17513   lim CC climc 19616    _D cdv 19617
This theorem is referenced by:  dvadd  19693  dvaddf  19695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-limc 19620  df-dv 19621
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