Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Unicode version

 Description: The sum rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6
2 eqid 2296 . . . . . . 7 t t
3 dvadd.j . . . . . . 7 fld
4 eqid 2296 . . . . . . 7
5 dvaddbr.s . . . . . . 7
6 dvadd.f . . . . . . 7
7 dvadd.x . . . . . . 7
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19264 . . . . . 6 t lim
91, 8mpbid 201 . . . . 5 t lim
109simpld 445 . . . 4 t
11 dvadd.bg . . . . . 6
12 eqid 2296 . . . . . . 7
13 dvadd.g . . . . . . 7
14 dvadd.y . . . . . . 7
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19264 . . . . . 6 t lim
1611, 15mpbid 201 . . . . 5 t lim
1716simpld 445 . . . 4 t
18 elin 3371 . . . 4 t t t t
1910, 17, 18sylanbrc 645 . . 3 t t
203cnfldtopon 18308 . . . . . 6 TopOn
21 resttopon 16908 . . . . . 6 TopOn t TopOn
2220, 5, 21sylancr 644 . . . . 5 t TopOn
23 topontop 16680 . . . . 5 t TopOn t
2422, 23syl 15 . . . 4 t
25 toponuni 16681 . . . . . 6 t TopOn t
2622, 25syl 15 . . . . 5 t
277, 26sseqtrd 3227 . . . 4 t
2814, 26sseqtrd 3227 . . . 4 t
29 eqid 2296 . . . . 5 t t
3029ntrin 16814 . . . 4 t t t t t t
3124, 27, 28, 30syl3anc 1182 . . 3 t t t
3219, 31eleqtrrd 2373 . 2 t
33 inss1 3402 . . . . . . 7
34 ssdif 3324 . . . . . . 7
3533, 34mp1i 11 . . . . . 6
3635sselda 3193 . . . . 5
377, 5sstrd 3202 . . . . . 6
3829ntrss2 16810 . . . . . . . 8 t t t
3924, 27, 38syl2anc 642 . . . . . . 7 t
4039, 10sseldd 3194 . . . . . 6
416, 37, 40dvlem 19262 . . . . 5
4236, 41syldan 456 . . . 4
43 inss2 3403 . . . . . . 7
44 ssdif 3324 . . . . . . 7
4543, 44mp1i 11 . . . . . 6
4645sselda 3193 . . . . 5
4714, 5sstrd 3202 . . . . . 6
4829ntrss2 16810 . . . . . . . 8 t t t
4924, 28, 48syl2anc 642 . . . . . . 7 t
5049, 17sseldd 3194 . . . . . 6
5113, 47, 50dvlem 19262 . . . . 5
5246, 51syldan 456 . . . 4
53 ssid 3210 . . . . 5
5453a1i 10 . . . 4
55 txtopon 17302 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
5620, 20, 55mp2an 653 . . . . . 6 TopOn
5756toponunii 16686 . . . . . . 7
5857restid 13354 . . . . . 6 TopOn t
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5 t
6059eqcomi 2300 . . . 4 t
619simprd 449 . . . . 5 lim
6241, 4fmptd 5700 . . . . . . 7
63 difss 3316 . . . . . . . 8
6463, 37syl5ss 3203 . . . . . . 7
65 eqid 2296 . . . . . . 7 t t
6633, 7syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . 14
6766, 26sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . 13 t
68 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
6968a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 t t
7067, 69unssd 3364 . . . . . . . . . . . 12 t t
71 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . 13 t
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . 12 t
7329ntrss 16808 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t t
7424, 70, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 t t t
7574, 32sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 t t
76 elin 3371 . . . . . . . . . 10 t t t t
7775, 40, 76sylanbrc 645 . . . . . . . . 9 t t
7833a1i 10 . . . . . . . . . . 11
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12 t t t t
8029, 79restntr 16928 . . . . . . . . . . 11 t t t t t t
8124, 27, 78, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 t t t t
823cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . . . . 14
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
84 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . 14
85 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . 14
865, 84, 85sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
87 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
8883, 7, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 t t t
8988fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 t t t
9089fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10 t t t
9181, 90eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9 t t t
9277, 91eleqtrd 2372 . . . . . . . 8 t
93 undif1 3542 . . . . . . . . . . . 12
9440snssd 3776 . . . . . . . . . . . . 13
95 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . 13
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
9793, 96syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 t t
9998fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 t t
100 undif1 3542 . . . . . . . . . 10
101 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13
10240, 50, 101sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12
103102snssd 3776 . . . . . . . . . . 11
104 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . 11
105103, 104sylib 188 . . . . . . . . . 10
106100, 105syl5eq 2340 . . . . . . . . 9
10799, 106fveq12d 5547 . . . . . . . 8 t t
10892, 107eleqtrrd 2373 . . . . . . 7 t
10962, 35, 64, 3, 65, 108limcres 19252 . . . . . 6 lim lim
110 resmpt 5016 . . . . . . . 8
11135, 110syl 15 . . . . . . 7
112111oveq1d 5889 . . . . . 6 lim lim
113109, 112eqtr3d 2330 . . . . 5 lim lim
11461, 113eleqtrd 2372 . . . 4 lim
11516simprd 449 . . . . 5 lim
11651, 12fmptd 5700 . . . . . . 7
117 difss 3316 . . . . . . . 8
118117, 47syl5ss 3203 . . . . . . 7
119 eqid 2296 . . . . . . 7 t t
120 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 t t
12267, 121unssd 3364 . . . . . . . . . . . 12 t t
123 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . 13 t
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . 12 t
12529ntrss 16808 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t t
12624, 122, 124, 125syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 t t t
127126, 32sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 t t
128 elin 3371 . . . . . . . . . 10 t t t t
129127, 50, 128sylanbrc 645 . . . . . . . . 9 t t
13043a1i 10 . . . . . . . . . . 11
131 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12 t t t t
13229, 131restntr 16928 . . . . . . . . . . 11 t t t t t t
13324, 28, 130, 132syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 t t t t
134 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
13583, 14, 86, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 t t t
136135fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 t t t
137136fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10 t t t
138133, 137eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9 t t t
139129, 138eleqtrd 2372 . . . . . . . 8 t
140 undif1 3542 . . . . . . . . . . . 12
14150snssd 3776 . . . . . . . . . . . . 13
142 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . 13
143141, 142sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
144140, 143syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11
145144oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 t t
146145fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 t t
147146, 106fveq12d 5547 . . . . . . . 8 t t
148139, 147eleqtrrd 2373 . . . . . . 7 t
149116, 45, 118, 3, 119, 148limcres 19252 . . . . . 6 lim lim
150 resmpt 5016 . . . . . . . 8
15145, 150syl 15 . . . . . . 7
152151oveq1d 5889 . . . . . 6 lim lim
153149, 152eqtr3d 2330 . . . . 5 lim lim
154115, 153eleqtrd 2372 . . . 4 lim
1553addcn 18385 . . . . 5
1565, 6, 7dvcl 19265 . . . . . . 7
1571, 156mpdan 649 . . . . . 6
1585, 13, 14dvcl 19265 . . . . . . 7
15911, 158mpdan 649 . . . . . 6
160 opelxpi 4737 . . . . . 6
161157, 159, 160syl2anc 642 . . . . 5
16257cncnpi 17023 . . . . 5
163155, 161, 162sylancr 644 . . . 4
16442, 52, 54, 54, 3, 60, 114, 154, 163limccnp2 19258 . . 3 lim
165 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11
166165adantl 452 . . . . . . . . . 10
167 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
1686, 167syl 15 . . . . . . . . . . . 12
169168adantr 451 . . . . . . . . . . 11
170 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
17113, 170syl 15 . . . . . . . . . . . 12
172171adantr 451 . . . . . . . . . . 11
173 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13
17437, 84, 173sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
175174adantr 451 . . . . . . . . . . 11
176 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13
17747, 84, 176sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
178177adantr 451 . . . . . . . . . . 11
179 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
180 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11
181 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11
182169, 172, 175, 178, 179, 180, 181ofval 6103 . . . . . . . . . 10
183166, 182mpdan 649 . . . . . . . . 9
184102adantr 451 . . . . . . . . . 10
185 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11
186 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11
187169, 172, 175, 178, 179, 185, 186ofval 6103 . . . . . . . . . 10
188184, 187mpdan 649 . . . . . . . . 9
189183, 188oveq12d 5892 . . . . . . . 8
190 difss 3316 . . . . . . . . . . . 12
191190, 33sstri 3201 . . . . . . . . . . 11
192191sseli 3189 . . . . . . . . . 10
193 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
1946, 192, 193syl2an 463 . . . . . . . . 9
195190, 43sstri 3201 . . . . . . . . . . 11
196195sseli 3189 . . . . . . . . . 10
197 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
19813, 196, 197syl2an 463 . . . . . . . . 9
199 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
2006, 40, 199syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
201200adantr 451 . . . . . . . . 9
202 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
20313, 50, 202syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
204203adantr 451 . . . . . . . . 9
205194, 198, 201, 204addsub4d 9220 . . . . . . . 8
206189, 205eqtrd 2328 . . . . . . 7
207206oveq1d 5889 . . . . . 6
208194, 201subcld 9173 . . . . . . 7
209198, 204subcld 9173 . . . . . . 7
210191, 37syl5ss 3203 . . . . . . . . 9
211210sselda 3193 . . . . . . . 8
21237, 40sseldd 3194 . . . . . . . . 9
213212adantr 451 . . . . . . . 8
214211, 213subcld 9173 . . . . . . 7
215 eldifsni 3763 . . . . . . . . 9
216215adantl 452 . . . . . . . 8
217 subeq0 9089 . . . . . . . . . 10
218211, 213, 217syl2anc 642 . . . . . . . . 9
219218necon3bid 2494 . . . . . . . 8
220216, 219mpbird 223 . . . . . . 7
221208, 209, 214, 220divdird 9590 . . . . . 6
222207, 221eqtrd 2328 . . . . 5
223222mpteq2dva 4122 . . . 4
224223oveq1d 5889 . . 3 lim lim
225164, 224eleqtrrd 2373 . 2 lim
226 eqid 2296 . . 3
227 addcl 8835 . . . . 5
228227adantl 452 . . . 4
229228, 6, 13, 174, 177, 179off 6109 . . 3
2302, 3, 226, 5, 229, 66eldv 19264 . 2 t lim
23132, 225, 230mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  csn 3653  cop 3656  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cc0 8753   caddc 8756   cmin 9053   cdiv 9439   ↾t crest 13341  ctopn 13342  ℂfldccnfld 16393  ctop 16647  TopOnctopon 16648  cnt 16770   ccn 16970   ccnp 16971   ctx 17271   lim climc 19228   cdv 19229 This theorem is referenced by:  dvadd  19305  dvaddf  19307 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-limc 19232  df-dv 19233
 Copyright terms: Public domain W3C validator