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Theorem dvaddbr 19303
Description: The sum rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvadd.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvadd.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvaddbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( K  +  L ) )

Proof of Theorem dvaddbr
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvadd.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
109simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.bg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
1611, 15mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1716simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y
) )
18 elin 3371 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
1910, 17, 18sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
203cnfldtopon 18308 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
21 resttopon 16908 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2220, 5, 21sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
23 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
25 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
2622, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
277, 26sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
2814, 26sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. ( Jt  S ) )
29 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
3029ntrin 16814 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  Y  C_ 
U. ( Jt  S ) )  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3124, 27, 28, 30syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3219, 31eleqtrrd 2373 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
33 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
34 ssdif 3324 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
3533, 34mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
3635sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X 
\  { C }
) )
377, 5sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
3829ntrss2 16810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
3924, 27, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
4039, 10sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
416, 37, 40dvlem 19262 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
4236, 41syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
43 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
44 ssdif 3324 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
4543, 44mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
4645sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( Y 
\  { C }
) )
4714, 5sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
4829ntrss2 16810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  C_  Y
)
4924, 28, 48syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  C_  Y
)
5049, 17sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5113, 47, 50dvlem 19262 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
5246, 51syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
53 ssid 3210 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
5453a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
55 txtopon 17302 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
5620, 20, 55mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
5756toponunii 16686 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
5857restid 13354 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
6059eqcomi 2300 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
619simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
6241, 4fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> CC )
63 difss 3316 . . . . . . . 8  |-  ( X 
\  { C }
)  C_  X
6463, 37syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  \  { C } )  C_  CC )
65 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
6633, 7syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  S )
6766, 26sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  U. ( Jt  S ) )
68 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. ( Jt  S )  \  X
)  C_  U. ( Jt  S )
6968a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  X ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
7067, 69unssd 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
71 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X ) ) )
7329ntrss 16808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
7424, 70, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
7574, 32sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
76 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  /\  C  e.  X )
)
7775, 40, 76sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
7833a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  X )
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( ( Jt  S )t  X )
8029, 79restntr 16928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  X )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
8124, 27, 78, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
823cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  e. 
Top
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
84 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
85 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
865, 84, 85sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
87 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
8883, 7, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
8988fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  X ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
9089fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
9181, 90eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
9277, 91eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
93 undif1 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( X  u.  { C } )
9440snssd 3776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  X )
95 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  X  <->  ( X  u.  { C } )  =  X )
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  u.  { C } )  =  X )
9793, 96syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  X )
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  X ) )
9998fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
100 undif1 3542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( ( X  i^i  Y
)  u.  { C } )
101 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( C  e.  X  /\  C  e.  Y ) )
10240, 50, 101sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
103102snssd 3776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { C }  C_  ( X  i^i  Y ) )
104 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { C }  C_  ( X  i^i  Y )  <->  ( ( X  i^i  Y )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
105103, 104sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  { C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
106100, 105syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
10799, 106fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
10892, 107eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
10962, 35, 64, 3, 65, 108limcres 19252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
110 resmpt 5016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
11135, 110syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
112111oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
113109, 112eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
11461, 113eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
11516simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
11651, 12fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( Y  \  { C } ) --> CC )
117 difss 3316 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
\  { C }
)  C_  Y
118117, 47syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { C } )  C_  CC )
119 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
120 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. ( Jt  S )  \  Y
)  C_  U. ( Jt  S )
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
12267, 121unssd 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
123 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) ) )
12529ntrss 16808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
12624, 122, 124, 125syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
127126, 32sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
128 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  /\  C  e.  Y )
)
129127, 50, 128sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
13043a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  Y )
131 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( ( Jt  S )t  Y )
13229, 131restntr 16928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  Y )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
13324, 28, 130, 132syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
134 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
13583, 14, 86, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
136135fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
137136fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
138133, 137eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
139129, 138eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
140 undif1 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( Y  u.  { C } )
14150snssd 3776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  Y )
142 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  Y  <->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
143141, 142sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
144140, 143syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  Y )
145144oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
146145fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
147146, 106fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
148139, 147eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
149116, 45, 118, 3, 119, 148limcres 19252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
150 resmpt 5016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
15145, 150syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
152151oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
153149, 152eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
154115, 153eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
1553addcn 18385 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1565, 6, 7dvcl 19265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1571, 156mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1585, 13, 14dvcl 19265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
15911, 158mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
160 opelxpi 4737 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  L  e.  CC )  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
161157, 159, 160syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
16257cncnpi 17023 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
163155, 161, 162sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
16442, 52, 54, 54, 3, 60, 114, 154, 163limccnp2 19258 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) ) lim CC  C
) )
165 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
166165adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
167 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> CC  ->  F  Fn  X )
1686, 167syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
169168adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F  Fn  X )
170 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> CC  ->  G  Fn  Y )
17113, 170syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  Y )
172171adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G  Fn  Y )
173 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
17437, 84, 173sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
175174adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  e.  _V )
176 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
17747, 84, 176sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
178177adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  Y  e.  _V )
179 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( X  i^i  Y
)
180 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
181 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
182169, 172, 175, 178, 179, 180, 181ofval 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
183166, 182mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
184102adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
185 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  =  ( F `
 C ) )
186 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  =  ( G `
 C ) )
187169, 172, 175, 178, 179, 185, 186ofval 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
188184, 187mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
189183, 188oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  +  ( G `  C
) ) ) )
190 difss 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  ( X  i^i  Y )
191190, 33sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  X
192191sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  X )
193 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
1946, 192, 193syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
195190, 43sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  Y
196195sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  Y )
197 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y --> CC  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
19813, 196, 197syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
199 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
2006, 40, 199syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
201200adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
202 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : Y --> CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
20313, 50, 202syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
204203adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
205194, 198, 201, 204addsub4d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  +  ( G `  z
) )  -  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
206189, 205eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
207206oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
208194, 201subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
209198, 204subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
210191, 37syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  CC )
211210sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
21237, 40sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
213212adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
214211, 213subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
215 eldifsni 3763 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
216215adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
217 subeq0 9089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  -  C )  =  0  <-> 
z  =  C ) )
218211, 213, 217syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( z  -  C )  =  0  <-> 
z  =  C ) )
219218necon3bid 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( z  -  C )  =/=  0  <->  z  =/=  C ) )
220216, 219mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
221208, 209, 214, 220divdird 9590 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
222207, 221eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
223222mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) )
224223oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
225164, 224eleqtrrd 2373 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
226 eqid 2296 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  +  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
227 addcl 8835 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
228227adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
229228, 6, 13, 174, 177, 179off 6109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : ( X  i^i  Y
) --> CC )
2302, 3, 226, 5, 229, 66eldv 19264 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) ( K  +  L )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  /\  ( K  +  L )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  +  G ) `  z )  -  (
( F  o F  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
23132, 225, 230mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) ( K  +  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756    - cmin 9053    / cdiv 9439   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971    tX ctx 17271   lim CC climc 19228    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvadd  19305  dvaddf  19307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-limc 19232  df-dv 19233
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