Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Structured version   Unicode version

 Description: The sum rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6
2 eqid 2435 . . . . . . 7 t t
3 dvadd.j . . . . . . 7 fld
4 eqid 2435 . . . . . . 7
5 dvaddbr.s . . . . . . 7
6 dvadd.f . . . . . . 7
7 dvadd.x . . . . . . 7
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19777 . . . . . 6 t lim
91, 8mpbid 202 . . . . 5 t lim
109simpld 446 . . . 4 t
11 dvadd.bg . . . . . 6
12 eqid 2435 . . . . . . 7
13 dvadd.g . . . . . . 7
14 dvadd.y . . . . . . 7
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19777 . . . . . 6 t lim
1611, 15mpbid 202 . . . . 5 t lim
1716simpld 446 . . . 4 t
18 elin 3522 . . . 4 t t t t
1910, 17, 18sylanbrc 646 . . 3 t t
203cnfldtopon 18809 . . . . . 6 TopOn
21 resttopon 17217 . . . . . 6 TopOn t TopOn
2220, 5, 21sylancr 645 . . . . 5 t TopOn
23 topontop 16983 . . . . 5 t TopOn t
2422, 23syl 16 . . . 4 t
25 toponuni 16984 . . . . . 6 t TopOn t
2622, 25syl 16 . . . . 5 t
277, 26sseqtrd 3376 . . . 4 t
2814, 26sseqtrd 3376 . . . 4 t
29 eqid 2435 . . . . 5 t t
3029ntrin 17117 . . . 4 t t t t t t
3124, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . 3 t t t
3219, 31eleqtrrd 2512 . 2 t
33 inss1 3553 . . . . . . 7
34 ssdif 3474 . . . . . . 7
3533, 34mp1i 12 . . . . . 6
3635sselda 3340 . . . . 5
377, 5sstrd 3350 . . . . . 6
3829ntrss2 17113 . . . . . . . 8 t t t
3924, 27, 38syl2anc 643 . . . . . . 7 t
4039, 10sseldd 3341 . . . . . 6
416, 37, 40dvlem 19775 . . . . 5
4236, 41syldan 457 . . . 4
43 inss2 3554 . . . . . . 7
44 ssdif 3474 . . . . . . 7
4543, 44mp1i 12 . . . . . 6
4645sselda 3340 . . . . 5
4714, 5sstrd 3350 . . . . . 6
4829ntrss2 17113 . . . . . . . 8 t t t
4924, 28, 48syl2anc 643 . . . . . . 7 t
5049, 17sseldd 3341 . . . . . 6
5113, 47, 50dvlem 19775 . . . . 5
5246, 51syldan 457 . . . 4
53 ssid 3359 . . . . 5
5453a1i 11 . . . 4
55 txtopon 17615 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
5620, 20, 55mp2an 654 . . . . . 6 TopOn
5756toponunii 16989 . . . . . . 7
5857restid 13653 . . . . . 6 TopOn t
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5 t
6059eqcomi 2439 . . . 4 t
619simprd 450 . . . . 5 lim
6241, 4fmptd 5885 . . . . . . 7
6337ssdifssd 3477 . . . . . . 7
64 eqid 2435 . . . . . . 7 t t
6533, 7syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . 14
6665, 26sseqtrd 3376 . . . . . . . . . . . . 13 t
67 difssd 3467 . . . . . . . . . . . . 13 t t
6866, 67unssd 3515 . . . . . . . . . . . 12 t t
69 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . 13 t
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 t
7129ntrss 17111 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t t
7224, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 t t t
7372, 32sseldd 3341 . . . . . . . . . 10 t t
74 elin 3522 . . . . . . . . . 10 t t t t
7573, 40, 74sylanbrc 646 . . . . . . . . 9 t t
7633a1i 11 . . . . . . . . . . 11
77 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 t t t t
7829, 77restntr 17238 . . . . . . . . . . 11 t t t t t t
7924, 27, 76, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 t t t t
803cnfldtop 18810 . . . . . . . . . . . . . 14
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
82 cnex 9063 . . . . . . . . . . . . . 14
83 ssexg 4341 . . . . . . . . . . . . . 14
845, 82, 83sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13
85 restabs 17221 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
8681, 7, 84, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 t t t
8786fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11 t t t
8887fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10 t t t
8979, 88eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9 t t t
9075, 89eleqtrd 2511 . . . . . . . 8 t
91 undif1 3695 . . . . . . . . . . . 12
9240snssd 3935 . . . . . . . . . . . . 13
93 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . . . 13
9492, 93sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
9591, 94syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11
9695oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 t t
9796fveq2d 5724 . . . . . . . . 9 t t
98 undif1 3695 . . . . . . . . . 10
99 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13
10040, 50, 99sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12
101100snssd 3935 . . . . . . . . . . 11
102 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . 11
103101, 102sylib 189 . . . . . . . . . 10
10498, 103syl5eq 2479 . . . . . . . . 9
10597, 104fveq12d 5726 . . . . . . . 8 t t
10690, 105eleqtrrd 2512 . . . . . . 7 t
10762, 35, 63, 3, 64, 106limcres 19765 . . . . . 6 lim lim
108 resmpt 5183 . . . . . . . 8
10935, 108syl 16 . . . . . . 7
110109oveq1d 6088 . . . . . 6 lim lim
111107, 110eqtr3d 2469 . . . . 5 lim lim
11261, 111eleqtrd 2511 . . . 4 lim
11316simprd 450 . . . . 5 lim
11451, 12fmptd 5885 . . . . . . 7
11547ssdifssd 3477 . . . . . . 7
116 eqid 2435 . . . . . . 7 t t
117 difssd 3467 . . . . . . . . . . . . 13 t t
11866, 117unssd 3515 . . . . . . . . . . . 12 t t
119 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . 13 t
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 t
12129ntrss 17111 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t t
12224, 118, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 t t t
123122, 32sseldd 3341 . . . . . . . . . 10 t t
124 elin 3522 . . . . . . . . . 10 t t t t
125123, 50, 124sylanbrc 646 . . . . . . . . 9 t t
12643a1i 11 . . . . . . . . . . 11
127 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 t t t t
12829, 127restntr 17238 . . . . . . . . . . 11 t t t t t t
12924, 28, 126, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 t t t t
130 restabs 17221 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
13181, 14, 84, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 t t t
132131fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11 t t t
133132fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10 t t t
134129, 133eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9 t t t
135125, 134eleqtrd 2511 . . . . . . . 8 t
136 undif1 3695 . . . . . . . . . . . 12
13750snssd 3935 . . . . . . . . . . . . 13
138 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . . . 13
139137, 138sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
140136, 139syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11
141140oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 t t
142141fveq2d 5724 . . . . . . . . 9 t t
143142, 104fveq12d 5726 . . . . . . . 8 t t
144135, 143eleqtrrd 2512 . . . . . . 7 t
145114, 45, 115, 3, 116, 144limcres 19765 . . . . . 6 lim lim
146 resmpt 5183 . . . . . . . 8
14745, 146syl 16 . . . . . . 7
148147oveq1d 6088 . . . . . 6 lim lim
149145, 148eqtr3d 2469 . . . . 5 lim lim
150113, 149eleqtrd 2511 . . . 4 lim
1513addcn 18887 . . . . 5
1525, 6, 7dvcl 19778 . . . . . . 7
1531, 152mpdan 650 . . . . . 6
1545, 13, 14dvcl 19778 . . . . . . 7
15511, 154mpdan 650 . . . . . 6
156 opelxpi 4902 . . . . . 6
157153, 155, 156syl2anc 643 . . . . 5
15857cncnpi 17334 . . . . 5
159151, 157, 158sylancr 645 . . . 4
16042, 52, 54, 54, 3, 60, 112, 150, 159limccnp2 19771 . . 3 lim
161 eldifi 3461 . . . . . . . . . . 11
162161adantl 453 . . . . . . . . . 10
163 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . 13
1646, 163syl 16 . . . . . . . . . . . 12
165164adantr 452 . . . . . . . . . . 11
166 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . 13
16713, 166syl 16 . . . . . . . . . . . 12
168167adantr 452 . . . . . . . . . . 11
169 ssexg 4341 . . . . . . . . . . . . 13
17037, 82, 169sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11
172 ssexg 4341 . . . . . . . . . . . . 13
17347, 82, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
174173adantr 452 . . . . . . . . . . 11
175 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
176 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
177 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
178165, 168, 171, 174, 175, 176, 177ofval 6306 . . . . . . . . . 10
179162, 178mpdan 650 . . . . . . . . 9
180100adantr 452 . . . . . . . . . 10
181 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
182 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
183165, 168, 171, 174, 175, 181, 182ofval 6306 . . . . . . . . . 10
184180, 183mpdan 650 . . . . . . . . 9
185179, 184oveq12d 6091 . . . . . . . 8
186 difss 3466 . . . . . . . . . . . 12
187186, 33sstri 3349 . . . . . . . . . . 11
188187sseli 3336 . . . . . . . . . 10
189 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . 10
1906, 188, 189syl2an 464 . . . . . . . . 9
191186, 43sstri 3349 . . . . . . . . . . 11
192191sseli 3336 . . . . . . . . . 10
193 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . 10
19413, 192, 193syl2an 464 . . . . . . . . 9
1956, 40ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
196195adantr 452 . . . . . . . . 9
19713, 50ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
198197adantr 452 . . . . . . . . 9
199190, 194, 196, 198addsub4d 9450 . . . . . . . 8
200185, 199eqtrd 2467 . . . . . . 7
201200oveq1d 6088 . . . . . 6
202190, 196subcld 9403 . . . . . . 7
203194, 198subcld 9403 . . . . . . 7
204187, 37syl5ss 3351 . . . . . . . . 9
205204sselda 3340 . . . . . . . 8
20637, 40sseldd 3341 . . . . . . . . 9
207206adantr 452 . . . . . . . 8
208205, 207subcld 9403 . . . . . . 7
209 eldifsni 3920 . . . . . . . . 9
210209adantl 453 . . . . . . . 8
211205, 207, 210subne0d 9412 . . . . . . 7
212202, 203, 208, 211divdird 9820 . . . . . 6
213201, 212eqtrd 2467 . . . . 5
214213mpteq2dva 4287 . . . 4
215214oveq1d 6088 . . 3 lim lim
216160, 215eleqtrrd 2512 . 2 lim
217 eqid 2435 . . 3
218 addcl 9064 . . . . 5
219218adantl 453 . . . 4
220219, 6, 13, 170, 173, 175off 6312 . . 3
2212, 3, 217, 5, 220, 65eldv 19777 . 2 t lim
22232, 216, 221mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  csn 3806  cop 3809  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868   cres 4872   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cc 8980   caddc 8985   cmin 9283   cdiv 9669   ↾t crest 13640  ctopn 13641  ℂfldccnfld 16695  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cnt 17073   ccn 17280   ccnp 17281   ctx 17584   lim climc 19741   cdv 19742 This theorem is referenced by:  dvadd  19818  dvaddf  19820 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-limc 19745  df-dv 19746
 Copyright terms: Public domain W3C validator