MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Unicode version

Theorem dvaddf 19307
Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvaddf.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvaddf.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
dvaddf.df  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvaddf.dg  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
Assertion
Ref Expression
dvaddf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S  _D  F
)  o F  +  ( S  _D  G
) ) )

Proof of Theorem dvaddf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.df . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
2 dvbsss 19268 . . . . . . 7  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S
)
41, 3eqsstr3d 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5 dvaddf.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
6 recnprss 19270 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
84, 7sstrd 3202 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
9 cnex 8834 . . . 4  |-  CC  e.  _V
10 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
118, 9, 10sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
12 dvfg 19272 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
135, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
141feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
1513, 14mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
16 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : X --> CC  ->  ( S  _D  F )  Fn  X )
1715, 16syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  Fn  X )
18 dvfg 19272 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
195, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
20 dvaddf.dg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
2120feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC  <->  ( S  _D  G ) : X --> CC ) )
2219, 21mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : X --> CC )
23 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  ( S  _D  G )  Fn  X )
2422, 23syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  Fn  X )
25 dvfg 19272 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) --> CC )
265, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) --> CC )
27 addcl 8835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
2827adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
29 dvaddf.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
30 dvaddf.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
31 inidm 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  X )  =  X
3228, 29, 30, 11, 11, 31off 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : X --> CC )
337, 32, 4dvbss 19267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) )  C_  X )
3429adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> CC )
354adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  C_  S )
3630adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G : X --> CC )
377adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  S  C_  CC )
38 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  F ) `
 x )  e. 
_V
3938a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( S  _D  F
) `  x )  e.  _V )
40 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  G ) `
 x )  e. 
_V
4140a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( S  _D  G
) `  x )  e.  _V )
421eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  x  e.  X
) )
4342biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  F ) )
445adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4544, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
46 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
47 funfvbrb 5654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( x  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  x ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  x )
) )
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  x ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  x )
) )
4943, 48mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x
( S  _D  F
) ( ( S  _D  F ) `  x ) )
5020eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( S  _D  G
)  <->  x  e.  X
) )
5150biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  G ) )
5244, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
53 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
54 funfvbrb 5654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( x  e.  dom  ( S  _D  G )  <->  x ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G
) `  x )
) )
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  dom  ( S  _D  G )  <->  x ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G
) `  x )
) )
5651, 55mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x
( S  _D  G
) ( ( S  _D  G ) `  x ) )
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5834, 35, 36, 35, 37, 39, 41, 49, 56, 57dvaddbr 19303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x
( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) ( ( ( S  _D  F
) `  x )  +  ( ( S  _D  G ) `  x ) ) )
59 reldv 19236 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( S  _D  ( F  o F  +  G )
)
6059releldmi 4931 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) ( ( ( S  _D  F
) `  x )  +  ( ( S  _D  G ) `  x ) )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) )
6158, 60syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) )
6261ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) ) )
6362ssrdv 3198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) )
6433, 63eqssd 3209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) )  =  X )
6564feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) ) --> CC  <->  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) : X --> CC ) )
6626, 65mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) : X --> CC )
67 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) : X --> CC  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G ) )  Fn  X )
6866, 67syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) )  Fn  X
)
69 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( S  _D  F
) `  x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x ) )
70 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( S  _D  G
) `  x )  =  ( ( S  _D  G ) `  x ) )
7134, 35, 36, 35, 44, 43, 51dvadd 19305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  _D  F
) `  x )  +  ( ( S  _D  G ) `  x ) ) )
7271eqcomd 2301 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  _D  F ) `  x
)  +  ( ( S  _D  G ) `
 x ) )  =  ( ( S  _D  ( F  o F  +  G )
) `  x )
)
7311, 17, 24, 68, 69, 70, 72offveq 6114 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  o F  +  ( S  _D  G ) )  =  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) ) )
7473eqcomd 2301 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S  _D  F
)  o F  +  ( S  _D  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752    + caddc 8756   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvmptadd  19325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator