Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvafmulr Unicode version

Theorem dvafmulr 31126
Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafmul.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvafmul.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvafmul.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvafmul.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvafmul.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvafmul.p  |-  .x.  =  ( .r `  F )
Assertion
Ref Expression
dvafmulr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    K, s, t    W, s, t
Allowed substitution hints:    T( t, s)    .x. ( t, s)    U( t, s)    F( t, s)    H( t, s)    V( t, s)

Proof of Theorem dvafmulr
StepHypRef Expression
1 dvafmul.p . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  F )
2 dvafmul.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
4 dvafmul.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 dvafmul.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  U )
62, 3, 4, 5dvasca 31121 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
76fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  F
)  =  ( .r
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) ) )
81, 7syl5eq 2432 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( .r
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) ) )
9 dvafmul.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 dvafmul.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
11 eqid 2388 . . 3  |-  ( .r
`  ( ( EDRing `  K ) `  W
) )  =  ( .r `  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
122, 9, 10, 3, 11erngfmul 30920 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t
) ) )
138, 12eqtrd 2420 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    o. ccom 4823   ` cfv 5395    e. cmpt2 6023   .rcmulr 13458  Scalarcsca 13460   LHypclh 30099   LTrncltrn 30216   TEndoctendo 30867   EDRingcedring 30868   DVecAcdveca 31117
This theorem is referenced by:  dvamulr  31127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-edring 30872  df-dveca 31118
  Copyright terms: Public domain W3C validator