Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvaplusgv Unicode version

Theorem dvaplusgv 31124
Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafplus.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvafplus.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvafplus.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvafplus.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvafplus.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvafplus.p  |-  .+  =  ( +g  `  F )
Assertion
Ref Expression
dvaplusgv  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) ) )

Proof of Theorem dvaplusgv
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafplus.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvafplus.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvafplus.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvafplus.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 dvafplus.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  U )
6 dvafplus.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6dvaplusg 31123 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( R  .+  S
)  =  ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f )  o.  ( S `  f ) ) ) )
87fveq1d 5670 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f
)  o.  ( S `
 f ) ) ) `  G ) )
983adantr3 1118 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f
)  o.  ( S `
 f ) ) ) `  G ) )
10 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  ->  G  e.  T )
11 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( R `  f )  =  ( R `  G ) )
12 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( S `  f )  =  ( S `  G ) )
1311, 12coeq12d 4977 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( R `  f
)  o.  ( S `
 f ) )  =  ( ( R `
 G )  o.  ( S `  G
) ) )
14 eqid 2387 . . . 4  |-  ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f )  o.  ( S `  f ) ) )  =  ( f  e.  T  |->  ( ( R `
 f )  o.  ( S `  f
) ) )
15 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( R `
 G )  e. 
_V
16 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( S `
 G )  e. 
_V
1715, 16coex 5353 . . . 4  |-  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) )  e. 
_V
1813, 14, 17fvmpt 5745 . . 3  |-  ( G  e.  T  ->  (
( f  e.  T  |->  ( ( R `  f )  o.  ( S `  f )
) ) `  G
)  =  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) ) )
1910, 18syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( f  e.  T  |->  ( ( R `
 f )  o.  ( S `  f
) ) ) `  G )  =  ( ( R `  G
)  o.  ( S `
 G ) ) )
209, 19eqtrd 2419 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4207    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   +g cplusg 13456  Scalarcsca 13459   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   TEndoctendo 30866   DVecAcdveca 31116
This theorem is referenced by:  dvalveclem  31140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-edring 30871  df-dveca 31117
  Copyright terms: Public domain W3C validator