Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvaplusgv Structured version   Unicode version

Theorem dvaplusgv 31734
Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafplus.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvafplus.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvafplus.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvafplus.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvafplus.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvafplus.p  |-  .+  =  ( +g  `  F )
Assertion
Ref Expression
dvaplusgv  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) ) )

Proof of Theorem dvaplusgv
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafplus.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvafplus.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvafplus.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvafplus.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 dvafplus.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  U )
6 dvafplus.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6dvaplusg 31733 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( R  .+  S
)  =  ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f )  o.  ( S `  f ) ) ) )
87fveq1d 5722 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f
)  o.  ( S `
 f ) ) ) `  G ) )
983adantr3 1118 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f
)  o.  ( S `
 f ) ) ) `  G ) )
10 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  ->  G  e.  T )
11 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( R `  f )  =  ( R `  G ) )
12 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( S `  f )  =  ( S `  G ) )
1311, 12coeq12d 5029 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( R `  f
)  o.  ( S `
 f ) )  =  ( ( R `
 G )  o.  ( S `  G
) ) )
14 eqid 2435 . . . 4  |-  ( f  e.  T  |->  ( ( R `  f )  o.  ( S `  f ) ) )  =  ( f  e.  T  |->  ( ( R `
 f )  o.  ( S `  f
) ) )
15 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( R `
 G )  e. 
_V
16 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( S `
 G )  e. 
_V
1715, 16coex 5405 . . . 4  |-  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) )  e. 
_V
1813, 14, 17fvmpt 5798 . . 3  |-  ( G  e.  T  ->  (
( f  e.  T  |->  ( ( R `  f )  o.  ( S `  f )
) ) `  G
)  =  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) ) )
1910, 18syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( f  e.  T  |->  ( ( R `
 f )  o.  ( S `  f
) ) ) `  G )  =  ( ( R `  G
)  o.  ( S `
 G ) ) )
209, 19eqtrd 2467 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R  .+  S ) `  G
)  =  ( ( R `  G )  o.  ( S `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   LHypclh 30708   LTrncltrn 30825   TEndoctendo 31476   DVecAcdveca 31726
This theorem is referenced by:  dvalveclem  31750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-edring 31481  df-dveca 31727
  Copyright terms: Public domain W3C validator