Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvasca Unicode version

Theorem dvasca 31500
Description: The ring base set of the constructed partial vector space A are all translation group endomorphisms (for a fiducial co-atom  W). (Contributed by NM, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvasca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvasca.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
dvasca.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvasca.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
Assertion
Ref Expression
dvasca  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  F  =  D )

Proof of Theorem dvasca
Dummy variables  f 
g  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvasca.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2412 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 eqid 2412 . . . 4  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 dvasca.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 dvasca.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5dvaset 31499 . . 3  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( ( LTrn `  K ) `  W ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) ,  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  ( f  o.  g ) )
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  ( s `  f ) ) >. } ) )
76fveq2d 5699 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( ( LTrn `  K ) `  W ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) ,  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  ( f  o.  g ) )
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  ( s `  f ) ) >. } ) ) )
8 dvasca.f . 2  |-  F  =  (Scalar `  U )
9 fvex 5709 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  e.  _V
104, 9eqeltri 2482 . . 3  |-  D  e. 
_V
11 eqid 2412 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( ( LTrn `  K ) `  W ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) ,  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  ( f  o.  g ) )
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  ( s `  f ) ) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( ( LTrn `  K ) `  W ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) ,  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  ( f  o.  g ) )
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  ( s `  f ) ) >. } )
1211lmodsca 13559 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  D  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( ( LTrn `  K ) `  W ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) ,  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  ( f  o.  g ) )
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  ( s `  f ) ) >. } ) ) )
1310, 12ax-mp 8 . 2  |-  D  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( ( LTrn `  K ) `  W ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) ,  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  ( f  o.  g ) )
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ,  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  ( s `  f ) ) >. } ) )
147, 8, 133eqtr4g 2469 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  F  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    u. cun 3286   {csn 3782   {ctp 3784   <.cop 3785    o. ccom 4849   ` cfv 5421    e. cmpt2 6050   ndxcnx 13429   Basecbs 13432   +g cplusg 13492  Scalarcsca 13495   .scvsca 13496   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   TEndoctendo 31246   EDRingcedring 31247   DVecAcdveca 31496
This theorem is referenced by:  dvabase  31501  dvafplusg  31502  dvafmulr  31505  dvalveclem  31520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-dveca 31497
  Copyright terms: Public domain W3C validator